1. Notions de logique
Propositions, connecteurs, quantificateurs et types de raisonnement.
∑Résumé du cours
Propositions et connecteurs
Une proposition est vraie ou fausse. Connecteurs : négation (non P), conjonction (P et Q), disjonction (P ou Q), implication (P ⇒ Q, fausse seulement si P vraie et Q fausse), équivalence (P ⇔ Q).
Lois de Morgan : non(P et Q) ⇔ (non P) ou (non Q) ; non(P ou Q) ⇔ (non P) et (non Q).
Quantificateurs
∀ (pour tout), ∃ (il existe), ∃! (il existe un unique). Négation : non(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, non P(x).
Raisonnements
- Contraposée : (P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P).
- Absurde : supposer le contraire et aboutir à une contradiction.
- Disjonction des cas.
- Contre-exemple pour nier une proposition universelle.
- Récurrence : initialisation + hérédité.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Écrire la négation de : ∀x ∈ ℝ, x² + 1 > 0.
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Exemple 2
Montrer par récurrence : ∀n ∈ ℕ, 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
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P ⇒ Q est fausse quand…
Réponse
a) P vraie, Q fausse — Seul cas faux. -
La contraposée de P ⇒ Q :
Réponse
a) non Q ⇒ non P — Équivalente. -
La négation de ∃ est…
Réponse
a) ∀ — Échange des quantificateurs.
العبارات، الروابط، المكممات وأنواع الاستدلال.
∑ملخص الدرس
العبارات والروابط
العبارة إما صحيحة أو خاطئة. الروابط: النفي (non P)، العطف (P و Q)، الفصل (P أو Q)، الاستلزام (P ⇒ Q، خاطئ فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة)، التكافؤ (P ⇔ Q).
قانونا موركان: non(P و Q) ⇔ (non P) أو (non Q) ؛ non(P أو Q) ⇔ (non P) و (non Q).
المكممات
∀ (لكل)، ∃ (يوجد)، ∃! (يوجد وحيد). النفي: non(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, non P(x).
أنواع الاستدلال
- الاستدلال بالمضادة للعكس: (P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P).
- الاستدلال بالخلف: نفترض العكس ونصل إلى تناقض.
- فصل الحالات.
- المثال المضاد لنفي عبارة كونية.
- الاستدلال بالترجع: التحقق + الوراثة.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
اكتب نفي العبارة: ∀x ∈ ℝ, x² + 1 > 0.
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مثال 2
بيّن بالترجع: ∀n ∈ ℕ, 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
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يكون P ⇒ Q خاطئًا عندما…
الجواب
أ) P صحيحة و Q خاطئة — الحالة الخاطئة الوحيدة. -
المضادة للعكس لـ P ⇒ Q:
الجواب
أ) non Q ⇒ non P — متكافئتان. -
نفي ∃ هو…
الجواب
أ) ∀ — تبادل المكممات.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.