7. Limites d’une fonction numérique
≈ 5 minSemestre 22 exemples3 questions
Limites finies et infinies, opérations, formes indéterminées et limites trigonométriques.
∑Résumé du cours
- Limites de référence : lim xⁿ, lim 1/xⁿ, lim √x.
- Opérations sur les limites ; formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0.
- Polynôme et fonction rationnelle en ±∞ : termes de plus haut degré.
- Limites à droite et à gauche, limite en un point.
- limx→0 sin x / x = 1 ; limx→0 (1 − cos x)/x² = 1/2 ; limx→0 tan x / x = 1.
- Comparaison et encadrement (théorème des gendarmes).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
limx→0 sin(3x)/x.
Voir la correction
= 3 × sin(3x)/(3x) → 3.
Exemple 2
limx→1 (x² − 1)/(x − 1).
Voir la correction
= x + 1 → 2.
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
limx→0 sin x/x = ?
Réponse
b) 1 — Limite remarquable. -
limx→+∞ (x² + 1)/(2x²) = ?
Réponse
a) 1/2 — Termes dominants. -
∞/∞ est…
Réponse
a) une forme indéterminée — Il faut transformer.
النهايات المنتهية واللامنتهية، العمليات، الأشكال غير المحددة والنهايات المثلثية.
∑ملخص الدرس
- نهايات مرجعية: lim xⁿ، lim 1/xⁿ، lim √x.
- العمليات على النهايات؛ الأشكال غير المحددة: ∞ − ∞، 0 × ∞، ∞/∞، 0/0.
- حدودية ودالة جذرية في ±∞: الحدود الأعلى درجة.
- النهاية على اليمين وعلى اليسار، النهاية في نقطة.
- limx→0 sin x / x = 1 ؛ limx→0 (1 − cos x)/x² = 1/2 ؛ limx→0 tan x / x = 1.
- المقارنة والتأطير (مبرهنة الدركيين).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
limx→0 sin(3x)/x.
عرض الحل
= 3 × sin(3x)/(3x) → 3.
مثال 2
limx→1 (x² − 1)/(x − 1).
عرض الحل
= x + 1 → 2.
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
limx→0 sin x/x = ؟
الجواب
ب) 1 — نهاية مرجعية. -
limx→+∞ (x² + 1)/(2x²) = ؟
الجواب
أ) 1/2 — الحدود المهيمنة. -
∞/∞…
الجواب
أ) شكل غير محدد — يجب التحويل.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.