7. Traiter l’information : logique combinatoire
Numération, algèbre de Boole, portes logiques et simplification par Karnaugh.
⚙Résumé du cours
Numération
Binaire, décimal, hexadécimal : 1101₂ = 13₁₀ = D₁₆. Code BCD, code Gray (un seul bit change).
Algèbre de Boole
OU (a + b), ET (a·b), NON (ā). Propriétés : a + 1 = 1, a·0 = 0, a + ā = 1, a·ā = 0, a + ab = a. De Morgan : (a + b)‾ = ā·b̄ ; (a·b)‾ = ā + b̄.
Portes
ET, OU, NON, NAND, NOR, OU exclusif (a ⊕ b = āb + ab̄). NAND et NOR sont universelles.
Méthode
Table de vérité → équation (somme des mintermes) → simplification algébrique ou tableau de Karnaugh (regrouper des 1 par 2, 4, 8 adjacents) → logigramme.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Convertir 45 en binaire.
Voir la correction
Exemple 2
Simplifier S = ab + ab̄ + āb.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
a + ā = ?
Réponse
b) 1 — Complément. -
(a·b)‾ = ?
Réponse
b) ā + b̄ — De Morgan. -
1010₂ = ?
Réponse
a) 10 — 8 + 2.
أنظمة العد، جبر بول، الأبواب المنطقية والتبسيط بجدول كارنو.
⚙ملخص الدرس
أنظمة العد
الثنائي، العشري، الست عشري: 1101₂ = 13₁₀ = D₁₆. رمز BCD، رمز Gray (يتغير بت واحد فقط).
جبر بول
OU (a + b)، ET (a·b)، NON (ā). الخاصيات: a + 1 = 1، a·0 = 0، a + ā = 1، a·ā = 0، a + ab = a. دي مورغان: (a + b)‾ = ā·b̄ ؛ (a·b)‾ = ā + b̄.
الأبواب
ET، OU، NON، NAND، NOR، OU الإقصائي (a ⊕ b = āb + ab̄). NAND و NOR بابان كونيان.
المنهجية
جدول الحقيقة ← المعادلة (مجموع الحدود الدنيا) ← التبسيط الجبري أو بـجدول كارنو (تجميع خانات 1 متجاورة 2، 4، 8) ← المخطط المنطقي.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حوّل 45 إلى النظام الثنائي.
عرض الحل
مثال 2
بسّط S = ab + ab̄ + āb.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
a + ā = ؟
الجواب
ب) 1 — المتمم. -
(a·b)‾ = ؟
الجواب
ب) ā + b̄ — دي مورغان. -
1010₂ = ؟
الجواب
أ) 10 — 8 + 2.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.