11. Vecteurs de l’espace
≈ 5 minSemestre 21 exemples3 questions
Calcul vectoriel, colinéarité et coplanarité dans l’espace.
∑Résumé du cours
Extension du calcul vectoriel du plan à l’espace : somme, produit par un réel, relation de Chasles.
- u⃗ et v⃗ colinéaires : ∃k, u⃗ = kv⃗.
- u⃗, v⃗, w⃗ coplanaires : ∃α, β, w⃗ = αu⃗ + βv⃗.
- Droite (A, u⃗) : ensemble des M tels que AM⃗ = tu⃗. Plan (A, u⃗, v⃗) : AM⃗ = αu⃗ + βv⃗.
- Positions relatives : droites parallèles, sécantes, non coplanaires ; droite et plan ; deux plans.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
ABCD tétraèdre, I milieu de [AB], J milieu de [CD]. Montrer que IJ⃗ = ½(AD⃗ + BC⃗).
Voir la correction
IJ⃗ = IA⃗ + AD⃗ + DJ⃗ et IJ⃗ = IB⃗ + BC⃗ + CJ⃗ ; en additionnant (IA⃗ + IB⃗ = 0⃗, DJ⃗ + CJ⃗ = 0⃗) : 2IJ⃗ = AD⃗ + BC⃗.
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
Trois vecteurs coplanaires :
Réponse
a) l’un est combinaison des deux autres — Définition. -
Deux droites non coplanaires…
Réponse
a) ne se coupent pas et ne sont pas parallèles — Gauches. -
Un plan est déterminé par…
Réponse
a) un point et deux vecteurs non colinéaires — Repère du plan.
الحساب المتجهي، الاستقامية والمستوائية في الفضاء.
∑ملخص الدرس
تمديد الحساب المتجهي من المستوى إلى الفضاء: المجموع، الضرب في عدد حقيقي، علاقة شال.
- u⃗ و v⃗ مستقيميتان: ∃k، u⃗ = kv⃗.
- u⃗، v⃗، w⃗ مستوائية: ∃α، β، w⃗ = αu⃗ + βv⃗.
- المستقيم (A, u⃗): مجموعة النقط M بحيث AM⃗ = tu⃗. المستوى (A, u⃗, v⃗): AM⃗ = αu⃗ + βv⃗.
- الأوضاع النسبية: مستقيمات متوازية، متقاطعة، غير مستوائية؛ مستقيم ومستوى؛ مستويان.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
ABCD رباعي الأوجه، I منتصف [AB]، J منتصف [CD]. بيّن أن IJ⃗ = ½(AD⃗ + BC⃗).
عرض الحل
IJ⃗ = IA⃗ + AD⃗ + DJ⃗ و IJ⃗ = IB⃗ + BC⃗ + CJ⃗ ؛ بالجمع (IA⃗ + IB⃗ = 0⃗، DJ⃗ + CJ⃗ = 0⃗): 2IJ⃗ = AD⃗ + BC⃗.
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
ثلاث متجهات مستوائية:
الجواب
أ) إحداها تأليفة خطية للأخريين — التعريف. -
مستقيمان غير مستوائيين…
الجواب
أ) لا يتقاطعان وغير متوازيين — مستقيمان متخالفان. -
يتحدد المستوى بـ…
الجواب
أ) نقطة ومتجهتين غير مستقيميتين — معلم المستوى.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.