4. Produit scalaire dans le plan : étude analytique
Expression analytique, distance, droites, cercles.
∑Résumé du cours
Repère orthonormé : u⃗(x ; y)·v⃗(x’ ; y’) = xx’ + yy’ ; ‖u⃗‖ = √(x² + y²) ; u⃗ ⊥ v⃗ ⇔ xx’ + yy’ = 0.
Droite de vecteur normal n⃗(a ; b) : ax + by + c = 0. Distance d’un point M à la droite : |axM + byM + c|/√(a² + b²).
Cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r : (x − a)² + (y − b)² = r². Équation x² + y² + αx + βy + γ = 0 : cercle si a² + b² − γ > 0 (après mise sous forme canonique). Cercle de diamètre [AB] : MA⃗·MB⃗ = 0.
Position droite-cercle : comparer d(Ω, D) et r (sécante, tangente, extérieure). Tangente en A : ΩA⃗·AM⃗ = 0.
Formules : cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b ; aire d’un triangle, formule d’Al-Kashi.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Équation du cercle de centre Ω(1 ; −2) et de rayon 3.
Voir la correction
Exemple 2
Distance de O à la droite 3x + 4y − 10 = 0.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
u⃗(2 ; 1) et v⃗(−1 ; 2) sont…
Réponse
a) orthogonaux — −2 + 2 = 0. -
Rayon de x² + y² = 25 :
Réponse
a) 5 — r² = 25. -
Une droite est tangente à un cercle si…
Réponse
a) d(Ω, D) = r — Un point commun.
التعبير التحليلي، المسافة، المستقيمات، الدوائر.
∑ملخص الدرس
في معلم متعامد ممنظم: u⃗(x ; y)·v⃗(x’ ; y’) = xx’ + yy’ ؛ ‖u⃗‖ = √(x² + y²) ؛ u⃗ ⊥ v⃗ ⇔ xx’ + yy’ = 0.
مستقيم متجهته المنظمية n⃗(a ; b): ax + by + c = 0. مسافة نقطة M عن المستقيم: |axM + byM + c|/√(a² + b²).
الدائرة التي مركزها Ω(a ; b) وشعاعها r: (x − a)² + (y − b)² = r². المعادلة x² + y² + αx + βy + γ = 0: دائرة إذا كان a² + b² − γ > 0 (بعد الكتابة على الشكل القانوني). الدائرة التي أحد أقطارها [AB]: MA⃗·MB⃗ = 0.
الوضع النسبي لمستقيم ودائرة: نقارن d(Ω, D) و r (قاطع، مماس، خارجي). المماس في A: ΩA⃗·AM⃗ = 0.
صيغ: cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b ؛ مساحة مثلث، مبرهنة الكاشي.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
معادلة الدائرة التي مركزها Ω(1 ; −2) وشعاعها 3.
عرض الحل
مثال 2
مسافة O عن المستقيم 3x + 4y − 10 = 0.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
u⃗(2 ; 1) و v⃗(−1 ; 2)…
الجواب
أ) متعامدتان — −2 + 2 = 0. -
شعاع x² + y² = 25:
الجواب
أ) 5 — r² = 25. -
يكون مستقيم مماسًا لدائرة إذا كان…
الجواب
أ) d(Ω, D) = r — نقطة مشتركة واحدة.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.