6. Barycentre
Barycentre de points pondérés, propriétés et réduction de sommes vectorielles.
∑Résumé du cours
Définition
Si α + β ≠ 0, le barycentre G de (A, α) et (B, β) est l’unique point tel que αGA⃗ + βGB⃗ = 0⃗. Alors AG⃗ = (β/(α + β)) AB⃗. Avec α = β, G est le milieu.
Propriétés
- Homogénéité : on peut multiplier tous les poids par k ≠ 0.
- Pour tout M : αMA⃗ + βMB⃗ (+ γMC⃗) = (α + β + γ) MG⃗.
- Coordonnées : xG = (αxA + βxB + γxC)/(α + β + γ), de même pour y.
- Associativité : on peut remplacer des points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs poids.
- Le centre de gravité d’un triangle est le barycentre de (A,1), (B,1), (C,1).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Construire G barycentre de (A, 1) et (B, 3).
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Exemple 2
A(1 ; 2), B(3 ; 0), C(1 ; 4). Coordonnées de G barycentre de (A,2), (B,1), (C,1).
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Barycentre de (A,1) et (B,1) :
Réponse
b) le milieu de [AB] — Poids égaux. -
Condition d’existence du barycentre de (A,α), (B,β) :
Réponse
a) α + β ≠ 0 — Sinon pas de point G. -
αMA⃗ + βMB⃗ = …
Réponse
a) (α + β)MG⃗ — Réduction vectorielle.
مرجح نقط متزنة، خاصياته واختزال المجاميع المتجهية.
∑ملخص الدرس
تعريف
إذا كان α + β ≠ 0، فإن مرجح (A, α) و (B, β) هو النقطة الوحيدة G بحيث αGA⃗ + βGB⃗ = 0⃗. إذن AG⃗ = (β/(α + β)) AB⃗. مع α = β، G هي المنتصف.
الخاصيات
- التجانس: يمكن ضرب جميع المعاملات في k ≠ 0.
- لكل M: αMA⃗ + βMB⃗ (+ γMC⃗) = (α + β + γ) MG⃗.
- الإحداثيات: xG = (αxA + βxB + γxC)/(α + β + γ)، وبالمثل بالنسبة لـ y.
- التجميعية: يمكن تعويض نقط بمرجحها الجزئي مرفوقًا بمجموع معاملاتها.
- مركز ثقل مثلث هو مرجح (A,1)، (B,1)، (C,1).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
أنشئ G مرجح (A, 1) و (B, 3).
عرض الحل
مثال 2
A(1 ; 2)، B(3 ; 0)، C(1 ; 4). إحداثيتا G مرجح (A,2)، (B,1)، (C,1).
عرض الحل
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مرجح (A,1) و (B,1):
الجواب
ب) منتصف [AB] — معاملان متساويان. -
شرط وجود مرجح (A,α)، (B,β):
الجواب
أ) α + β ≠ 0 — وإلا فلا توجد نقطة G. -
αMA⃗ + βMB⃗ = …
الجواب
أ) (α + β)MG⃗ — الاختزال المتجهي.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.