10. Géométrie analytique de l’espace
Coordonnées, représentations paramétriques, équations cartésiennes de plans.
∑Résumé du cours
Repère de l’espace
M(x ; y ; z) ⇔ OM⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗. Mêmes règles de calcul que dans le plan, avec une troisième coordonnée.
Déterminant
Trois vecteurs sont coplanaires ⇔ leur déterminant est nul (développement selon une colonne).
Droite
Passant par A(x₀ ; y₀ ; z₀), dirigée par u⃗(a ; b ; c) : x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (t ∈ ℝ).
Plan
Représentation paramétrique : M = A + αu⃗ + βv⃗. Équation cartésienne : ax + by + cz + d = 0 avec (a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0).
Positions relatives : on résout le système (droite–plan : on remplace x, y, z par la paramétrique).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Représentation paramétrique de (AB) avec A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 1 ; 0).
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Exemple 2
Intersection de cette droite avec le plan P : x + y + z − 3 = 0.
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-
Le plan z = 0 est…
Réponse
a) le plan (xOy) — Points de cote nulle. -
Trois vecteurs sont coplanaires si leur déterminant est…
Réponse
b) nul — Critère analytique. -
x = 1 + t, y = 2, z = −t décrit…
Réponse
b) une droite — Un seul paramètre.
الإحداثيات، التمثيلات البارامترية، المعادلات الديكارتية للمستويات.
∑ملخص الدرس
معلم الفضاء
M(x ; y ; z) ⇔ OM⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗. نفس قواعد الحساب في المستوى، مع إحداثية ثالثة.
المحددة
ثلاث متجهات مستوائية ⇔ محددتها منعدمة (النشر حسب عمود).
المستقيم
المار من A(x₀ ; y₀ ; z₀) وموجهته u⃗(a ; b ; c): x = x₀ + at، y = y₀ + bt، z = z₀ + ct (t ∈ ℝ).
المستوى
التمثيل البارامتري: M = A + αu⃗ + βv⃗. المعادلة الديكارتية: ax + by + cz + d = 0 مع (a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0).
الأوضاع النسبية: نحل النظمة (مستقيم–مستوى: نعوض x، y، z بالتمثيل البارامتري).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
تمثيل بارامتري لـ (AB) مع A(1 ; 0 ; 2)، B(3 ; 1 ; 0).
عرض الحل
مثال 2
تقاطع هذا المستقيم مع المستوى P: x + y + z − 3 = 0.
عرض الحل
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-
المستوى z = 0 هو…
الجواب
أ) المستوى (xOy) — نقط أنسوبها منعدم. -
ثلاث متجهات مستوائية إذا كانت محددتها…
الجواب
ب) منعدمة — معيار تحليلي. -
x = 1 + t، y = 2، z = −t يصف…
الجواب
ب) مستقيمًا — بارامتر واحد.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.