11. Généralités sur les fonctions
Majorant, minorant, extremums, monotonie, parité, composition et périodicité.
∑Résumé du cours
Fonction bornée
f est majorée par M si f(x) ≤ M pour tout x ; minorée par m si f(x) ≥ m ; bornée si elle est les deux. Maximum en a : f(x) ≤ f(a) pour tout x.
Monotonie
Taux d’accroissement T = (f(x) − f(y))/(x − y) : T ≥ 0 sur I ⇔ f croissante. La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante ; de monotonies contraires, décroissante.
Parité, périodicité
Paire : f(−x) = f(x) (symétrie par rapport à (Oy)). Impaire : f(−x) = −f(x) (symétrie par rapport à O). Périodique de période T : f(x + T) = f(x).
Fonctions de référence
x ↦ ax² + bx + c (parabole de sommet (−b/2a ; f(−b/2a))), x ↦ (ax + b)/(cx + d) (hyperbole de centre (−d/c ; a/c)), x ↦ √(x + a).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Montrer que f(x) = x/(x² + 1) est bornée par 1/2.
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Exemple 2
Parité de g(x) = x³ − x.
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f(x) = cos x a pour période…
Réponse
b) 2π — cos(x + 2π) = cos x. -
Une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à…
Réponse
b) O — f(−x) = −f(x). -
Composée de deux fonctions décroissantes :
Réponse
a) croissante — Même monotonie → croissante.
المكبور، المصغور، القيم القصوى، الرتابة، الزوجية، التركيب والدورية.
∑ملخص الدرس
الدالة المحدودة
f مكبورة بـ M إذا كان f(x) ≤ M لكل x ؛ مصغورة بـ m إذا كان f(x) ≥ m ؛ محدودة إذا كانت كلاهما. قيمة قصوى في a: f(x) ≤ f(a) لكل x.
الرتابة
معدل التغير T = (f(x) − f(y))/(x − y): T ≥ 0 على I ⇔ f تزايدية. مركب دالتين لهما نفس الرتابة تزايدي؛ ولهما رتابتان متعاكستان تناقصي.
الزوجية، الدورية
زوجية: f(−x) = f(x) (تماثل بالنسبة لـ (Oy)). فردية: f(−x) = −f(x) (تماثل بالنسبة لـ O). دورية دورها T: f(x + T) = f(x).
الدوال المرجعية
x ↦ ax² + bx + c (شلجم رأسه (−b/2a ; f(−b/2a)))، x ↦ (ax + b)/(cx + d) (هذلول مركزه (−d/c ; a/c))، x ↦ √(x + a).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
بيّن أن f(x) = x/(x² + 1) محدودة بـ 1/2.
عرض الحل
مثال 2
زوجية g(x) = x³ − x.
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دور f(x) = cos x…
الجواب
ب) 2π — cos(x + 2π) = cos x. -
منحنى دالة فردية متماثل بالنسبة لـ…
الجواب
ب) O — f(−x) = −f(x). -
مركب دالتين تناقصيتين:
الجواب
أ) تزايدي — نفس الرتابة ← تزايدي.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.