8. La rotation
Définition, propriétés et utilisation des rotations en géométrie plane.
∑Résumé du cours
Définition
La rotation R de centre Ω et d’angle θ transforme Ω en lui-même et tout M ≠ Ω en M’ tel que ΩM’ = ΩM et (ΩM⃗, ΩM’⃗) ≡ θ [2π].
Propriétés
- Une rotation conserve les distances, les angles orientés, l’alignement, le parallélisme, les milieux et les barycentres.
- L’image d’une droite est une droite ; l’angle entre une droite et son image vaut θ.
- L’image d’un cercle (O, r) est le cercle (O’, r) où O’ = R(O).
- Réciproque : la rotation de même centre et d’angle −θ.
- Rotation d’angle π = symétrie centrale.
Utilisation
Montrer que deux segments sont égaux et font un angle θ : trouver une rotation qui envoie l’un sur l’autre (ex. triangles équilatéraux construits sur les côtés).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
ABC est équilatéral direct. Quelle rotation envoie B sur C ?
Voir la correction
Exemple 2
ABCD est un carré direct de centre O. Image de A par la rotation de centre O et d’angle π/2 ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
Une rotation conserve…
Réponse
a) les distances — C’est une isométrie. -
Rotation de centre Ω et d’angle π :
Réponse
b) symétrie centrale de centre Ω — M’ symétrique de M par rapport à Ω. -
La réciproque de R(Ω, θ) est…
Réponse
a) R(Ω, −θ) — On tourne en sens inverse.
التعريف، الخاصيات واستعمال الدورانات في الهندسة المستوية.
∑ملخص الدرس
تعريف
الدوران R الذي مركزه Ω وزاويته θ يحول Ω إلى نفسها، وكل نقطة M ≠ Ω إلى M’ بحيث ΩM’ = ΩM و (ΩM⃗, ΩM’⃗) ≡ θ [2π].
الخاصيات
- يحافظ الدوران على المسافات، الزوايا الموجهة، الاستقامية، التوازي، المنتصفات والمرجحات.
- صورة مستقيم مستقيم؛ والزاوية بين مستقيم وصورته تساوي θ.
- صورة دائرة (O, r) هي الدائرة (O’, r) حيث O’ = R(O).
- الدوران العكسي: الدوران الذي له نفس المركز وزاويته −θ.
- الدوران الذي زاويته π = تماثل مركزي.
الاستعمال
لإثبات أن قطعتين متقايستان وتكوّنان زاوية θ: نبحث عن دوران يحول إحداهما إلى الأخرى (مثال المثلثات المتساوية الأضلاع المنشأة على الأضلاع).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
ABC مثلث متساوي الأضلاع مباشر. أي دوران يحول B إلى C؟
عرض الحل
مثال 2
ABCD مربع مباشر مركزه O. صورة A بالدوران الذي مركزه O وزاويته π/2؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
يحافظ الدوران على…
الجواب
أ) المسافات — إنه تقايس. -
الدوران الذي مركزه Ω وزاويته π:
الجواب
ب) التماثل المركزي الذي مركزه Ω — M’ مماثلة M بالنسبة لـ Ω. -
الدوران العكسي لـ R(Ω, θ) هو…
الجواب
أ) R(Ω, −θ) — ندور في المنحى المعاكس.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.