14. Satellites et planètes

ΦRésumé du cours

Lois de Kepler

1. Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est un foyer.
2. Le rayon Soleil-planète balaie des aires égales en des durées égales.
3. T²/a³ = constante pour toutes les planètes d’un même astre.

Satellite en orbite circulaire

Force : F = G M m / r² (r = R + h), dirigée vers le centre. 2ᵉ loi de Newton : le mouvement est circulaire uniforme et

v = √(GM/r) ; T = 2π √(r³/(GM)) ; donc T²/r³ = 4π²/(GM).

Le champ de gravitation au sol : g₀ = GM/R², donc GM = g₀ R².

Satellite géostationnaire

Il tourne dans le plan de l’équateur, dans le même sens que la Terre, avec T = 24 h (≈ 86 164 s, jour sidéral) : il paraît immobile ; altitude ≈ 36 000 km.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. La vitesse d’un satellite dépend de…

   a) sa masseb) r et Mc) sa forme
   Réponse

   b) r et M — v = √(GM/r).

2. Troisième loi de Kepler :

   a) T/a = cteb) T²/a³ = ctec) T³/a² = cte
   Réponse

   b) T²/a³ = cte — Loi des périodes.

3. Un satellite géostationnaire a une période de…

   a) 1 hb) 24 h environc) 365 jours
   Réponse

   b) 24 h environ — Celle de la rotation terrestre.

4. Plus un satellite est haut, sa vitesse est…

   a) plus grandeb) plus petitec) identique
   Réponse

   b) plus petite — v diminue quand r augmente.

Φملخص الدرس

قوانين كبلر

1. تتحرك الكواكب وفق مدارات إهليلجية تحتل الشمس إحدى بؤرتيها.
2. يكسح الشعاع شمس–كوكب مساحات متساوية خلال مدد متساوية.
3. T²/a³ = ثابتة بالنسبة لكل كواكب نفس الجرم.

قمر اصطناعي في مدار دائري

القوة: F = G M m / r² (r = R + h)، متجهة نحو المركز. حسب القانون الثاني لنيوتن، الحركة دائرية منتظمة و

v = √(GM/r) ؛ T = 2π √(r³/(GM)) ؛ إذن T²/r³ = 4π²/(GM).

مجال الثقالة على سطح الأرض: g₀ = GM/R²، إذن GM = g₀ R².

القمر الاصطناعي الساكن بالنسبة للأرض

يدور في مستوى خط الاستواء، في نفس منحى دوران الأرض، بدور T = 24 h (≈ 86 164 s، اليوم النجمي): يبدو ساكنًا؛ ارتفاعه ≈ 36 000 km.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. تتعلق سرعة قمر اصطناعي بـ…

   أ) كتلتهب) r و Mج) شكله
   الجواب

   ب) r و M — v = √(GM/r).

2. القانون الثالث لكبلر:

   أ) T/a = ثابتةب) T²/a³ = ثابتةج) T³/a² = ثابتة
   الجواب

   ب) T²/a³ = ثابتة — قانون الأدوار.

3. دور القمر الاصطناعي الساكن بالنسبة للأرض…

   أ) 1 hب) 24 h تقريبًاج) 365 يومًا
   الجواب

   ب) 24 h تقريبًا — دور دوران الأرض.

4. كلما كان القمر الاصطناعي أعلى، كانت سرعته…

   أ) أكبرب) أصغرج) نفسها
   الجواب

   ب) أصغر — v تنقص عندما يزداد r.