3. Le barycentre dans le plan
Barycentre de 2, 3 ou 4 points pondérés et applications.
∑Résumé du cours
G est le barycentre de (A, a) et (B, b) (a + b ≠ 0) si a GA⃗ + b GB⃗ = 0⃗. Alors AG⃗ = (b/(a + b)) AB⃗ ; si a = b, G est le milieu.
Propriété réduite : pour tout M, a MA⃗ + b MB⃗ = (a + b) MG⃗.
Généralisation à 3 ou 4 points ; associativité : on peut remplacer des points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.
Coordonnées : xG = (a xA + b xB + c xC)/(a + b + c). Le centre de gravité d’un triangle est l’isobarycentre.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
G barycentre de (A, 1) et (B, 3). Placer G.
Voir la correction
Exemple 2
A(1 ; 2), B(5 ; 6), coefficients 1 et 1. Coordonnées de G ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
Barycentre de (A, 2), (B, 2) :
Réponse
a) milieu de [AB] — Coefficients égaux. -
Condition d’existence :
Réponse
a) somme des coefficients ≠ 0 — a + b ≠ 0. -
Le centre de gravité d’un triangle est…
Réponse
a) l’isobarycentre des sommets — Coefficients égaux.
مرجح نقطتين أو 3 أو 4 نقط متزنة وتطبيقاته.
∑ملخص الدرس
G مرجح (A, a) و (B, b) (a + b ≠ 0) إذا كان a GA⃗ + b GB⃗ = 0⃗. إذن AG⃗ = (b/(a + b)) AB⃗ ؛ وإذا كان a = b، فإن G هي المنتصف.
الخاصية المميزة: لكل M، a MA⃗ + b MB⃗ = (a + b) MG⃗.
التعميم على 3 أو 4 نقط؛ التجميعية: يمكن تعويض نقط بمرجحها الجزئي مرفوقًا بمجموع معاملاتها.
الإحداثيات: xG = (a xA + b xB + c xC)/(a + b + c). مركز ثقل مثلث هو مرجح رؤوسه بمعاملات متساوية.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
G مرجح (A, 1) و (B, 3). أنشئ G.
عرض الحل
مثال 2
A(1 ; 2)، B(5 ; 6)، المعاملان 1 و 1. إحداثيتا G؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
مرجح (A, 2)، (B, 2):
الجواب
أ) منتصف [AB] — معاملان متساويان. -
شرط الوجود:
الجواب
أ) مجموع المعاملات ≠ 0 — a + b ≠ 0. -
مركز ثقل مثلث هو…
الجواب
أ) مرجح الرؤوس بمعاملات متساوية — معاملات متساوية.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.