5. Généralités sur les suites numériques
≈ 5 minSemestre 12 exemples3 questions
Suites majorées, monotones, arithmétiques et géométriques.
∑Résumé du cours
- Suite définie explicitement (un = f(n)) ou par récurrence (un+1 = f(un)).
- Monotonie : signe de un+1 − un (ou un+1/un si termes positifs).
- Majorée, minorée, bornée (souvent par récurrence).
- Arithmétique : un = up + (n − p)r ; S = (nb termes)(premier + dernier)/2.
- Géométrique : un = upqn−p ; S = premier (1 − qnb termes)/(1 − q).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
un = (2n + 1)/(n + 1). Étudier sa monotonie.
Voir la correction
un+1 − un = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0 : croissante.
Exemple 2
Somme 1 + 2 + 4 + … + 2¹⁰.
Voir la correction
Géométrique, 11 termes : (1 − 2¹¹)/(1 − 2) = 2 047.
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-
un+1 − un = 3 : la suite est…
Réponse
a) arithmétique de raison 3 — Différence constante. -
u₀ = 2, q = 3 : u₂ = ?
Réponse
a) 18 — 2 × 9. -
Une suite croissante est minorée par…
Réponse
a) son premier terme — un ≥ u₀.
المتتاليات المكبورة، الرتيبة، الحسابية والهندسية.
∑ملخص الدرس
- متتالية معرفة بصيغة صريحة (un = f(n)) أو بعلاقة ترجعية (un+1 = f(un)).
- الرتابة: إشارة un+1 − un (أو un+1/un إذا كانت الحدود موجبة).
- مكبورة، مصغورة، محدودة (غالبًا بالترجع).
- حسابية: un = up + (n − p)r ؛ S = (عدد الحدود)(الحد الأول + الحد الأخير)/2.
- هندسية: un = upqn−p ؛ S = الحد الأول × (1 − qعدد الحدود)/(1 − q).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
un = (2n + 1)/(n + 1). ادرس رتابتها.
عرض الحل
un+1 − un = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0: تزايدية.
مثال 2
المجموع 1 + 2 + 4 + … + 2¹⁰.
عرض الحل
هندسية، 11 حدًا: (1 − 2¹¹)/(1 − 2) = 2 047.
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-
un+1 − un = 3: المتتالية…
الجواب
أ) حسابية أساسها 3 — فرق ثابت. -
u₀ = 2، q = 3: u₂ = ؟
الجواب
أ) 18 — 2 × 9. -
المتتالية التزايدية مصغورة بـ…
الجواب
أ) حدها الأول — un ≥ u₀.
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Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.