9. Dérivation
Nombre dérivé, tangente, fonction dérivée et règles de calcul.
∑Résumé du cours
f dérivable en a si limh→0 (f(a + h) − f(a))/h = f'(a) existe (finie). Tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a). Approximation affine : f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h.
Dérivabilité à droite / à gauche ; demi-tangentes.
Dérivées : (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹, (√x)’ = 1/(2√x), (sin x)’ = cos x, (cos x)’ = −sin x ; (u + v)’, (uv)’, (u/v)’, (uⁿ)’, (√u)’ ; f(ax + b)’ = a f'(ax + b).
Monotonie par le signe de f’ ; extremum.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Équation de la tangente à f(x) = x³ en x = 1.
Voir la correction
Exemple 2
Dériver f(x) = (x² + 1)/(x − 1).
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
(cos x)’ = ?
Réponse
a) −sin x — Dérivée usuelle. -
(u/v)’ = ?
Réponse
a) (u’v − uv’)/v² — Quotient. -
Si f’ > 0 sur I, f est…
Réponse
a) croissante — Monotonie.
العدد المشتق، المماس، الدالة المشتقة وقواعد الحساب.
∑ملخص الدرس
f قابلة للاشتقاق في a إذا كانت limh→0 (f(a + h) − f(a))/h = f'(a) موجودة (منتهية). المماس: y = f'(a)(x − a) + f(a). التقريب التآلفي: f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h.
قابلية الاشتقاق على اليمين / على اليسار؛ نصفا المماس.
المشتقات: (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹، (√x)’ = 1/(2√x)، (sin x)’ = cos x، (cos x)’ = −sin x ؛ (u + v)’، (uv)’، (u/v)’، (uⁿ)’، (√u)’ ؛ f(ax + b)’ = a f'(ax + b).
الرتابة بإشارة f’ ؛ القيم القصوى.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
معادلة المماس لـ f(x) = x³ في x = 1.
عرض الحل
مثال 2
اشتق f(x) = (x² + 1)/(x − 1).
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
(cos x)’ = ؟
الجواب
أ) −sin x — مشتقة اعتيادية. -
(u/v)’ = ؟
الجواب
أ) (u’v − uv’)/v² — الخارج. -
إذا كانت f’ > 0 على I، فإن f…
الجواب
أ) تزايدية — الرتابة.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.