1. Équations, inéquations et systèmes
Résoudre les équations du second degré, étudier le signe d’un trinôme et résoudre des systèmes.
∑Résumé du cours
Second degré
ax² + bx + c = 0 avec Δ = b² − 4ac : deux racines (−b ± √Δ)/(2a) si Δ > 0 ; une racine double −b/(2a) si Δ = 0 ; aucune racine réelle si Δ < 0.
Signe du trinôme : du signe de a à l’extérieur des racines, du signe contraire entre elles.
Systèmes
Système de deux équations à deux inconnues : substitution, combinaison ou déterminant (Cramer) : D = ab’ − a’b, x = Dx/D, y = Dy/D.
Application économique
Un bénéfice B(q) = R(q) − C(q) est positif lorsque le trinôme est positif : on cherche l’intervalle de rentabilité.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Résoudre −q² + 40q − 300 ≥ 0 (bénéfice en milliers de DH).
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Exemple 2
Résoudre : 2x + y = 7 et x − y = 2.
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Si Δ < 0, l’équation ax² + bx + c = 0…
Réponse
a) n’a pas de solution réelle — Pas de racine réelle. -
x² − 5x + 6 = 0 a pour solutions…
Réponse
a) 2 et 3 — Δ = 1. -
Entre ses racines, un trinôme a le signe…
Réponse
b) contraire de a — Règle du signe.
حل معادلات الدرجة الثانية، دراسة إشارة ثلاثية الحدود وحل النظمات.
∑ملخص الدرس
الدرجة الثانية
ax² + bx + c = 0 مع Δ = b² − 4ac: جذران (−b ± √Δ)/(2a) إذا كان Δ > 0 ؛ جذر مزدوج −b/(2a) إذا كان Δ = 0 ؛ لا جذر حقيقي إذا كان Δ < 0.
إشارة ثلاثية الحدود: إشارة a خارج الجذرين، والإشارة المعاكسة بينهما.
النظمات
نظمة معادلتين بمجهولين: التعويض، التأليفة الخطية أو المحددة (كرامر): D = ab’ − a’b، x = Dx/D، y = Dy/D.
تطبيق اقتصادي
يكون الربح B(q) = R(q) − C(q) موجبًا عندما تكون ثلاثية الحدود موجبة: نبحث عن مجال المردودية.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حل −q² + 40q − 300 ≥ 0 (الربح بآلاف الدراهم).
عرض الحل
مثال 2
حل: 2x + y = 7 و x − y = 2.
عرض الحل
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إذا كان Δ < 0، فإن المعادلة ax² + bx + c = 0…
الجواب
أ) ليس لها حل حقيقي — لا جذر حقيقي. -
حلا x² − 5x + 6 = 0…
الجواب
أ) 2 و 3 — Δ = 1. -
بين جذريها، لثلاثية الحدود إشارة…
الجواب
ب) عكس a — قاعدة الإشارة.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.