3. Limites et continuité
Calculer des limites simples et lire les asymptotes.
∑Résumé du cours
Limites
En ±∞, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré ; une fraction rationnelle comme le quotient de ses termes de plus haut degré. lim 1/x = 0 en ±∞.
Asymptotes
limx→a f = ±∞ : asymptote verticale x = a. limx→±∞ f = b : asymptote horizontale y = b.
Continuité
Une fonction est continue si sa courbe se trace « sans lever le crayon ». Polynômes et fractions rationnelles sont continus sur leur domaine.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
limx→+∞ (3x² + 1)/(x² − 4).
Voir la correction
Exemple 2
Coût moyen CM(q) = 20 + 500/q. Limite en +∞ ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
limx→+∞ 5/x = ?
Réponse
a) 0 — Inverse. -
limx→2 1/(x − 2)² = ?
Réponse
b) +∞ — Dénominateur positif tendant vers 0. -
Asymptote horizontale si…
Réponse
a) lim±∞ f = b — Limite finie à l’infini.
حساب نهايات بسيطة وقراءة المقاربات.
∑ملخص الدرس
النهايات
في ±∞، تتصرف حدودية مثل حدها الأعلى درجة؛ ودالة جذرية مثل خارج حديها الأعلى درجة. lim 1/x = 0 في ±∞.
المقاربات
limx→a f = ±∞: مقارب عمودي x = a. limx→±∞ f = b: مقارب أفقي y = b.
الاتصال
تكون الدالة متصلة إذا رُسم منحناها «دون رفع القلم». الحدوديات والدوال الجذرية متصلة على مجموعة تعريفها.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
limx→+∞ (3x² + 1)/(x² − 4).
عرض الحل
مثال 2
الكلفة المتوسطة CM(q) = 20 + 500/q. النهاية في +∞؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
limx→+∞ 5/x = ؟
الجواب
أ) 0 — المقلوب. -
limx→2 1/(x − 2)² = ؟
الجواب
ب) +∞ — مقام موجب يؤول إلى 0. -
مقارب أفقي إذا…
الجواب
أ) lim±∞ f = b — نهاية منتهية في اللانهاية.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.