4. Dérivation et applications économiques
Dérivée, sens de variation, optimum et coût marginal.
∑Résumé du cours
Dérivées
(k)’ = 0 ; (x)’ = 1 ; (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ ; (1/x)’ = −1/x² ; (u + v)’ = u’ + v’ ; (ku)’ = ku’ ; (uv)’ = u’v + uv’ ; (u/v)’ = (u’v − uv’)/v².
Variations et optimum
f’ > 0 : f croissante ; f’ < 0 : décroissante. Si f’ s’annule en changeant de signe, f a un extremum (bénéfice maximal, coût minimal).
Marginalisme
Coût marginal Cm(q) = C'(q) : coût d’une unité supplémentaire. Le bénéfice est maximal quand Rm = Cm. Le coût moyen est minimal quand CM = Cm.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
C(q) = q³ − 6q² + 15q. Calculer le coût marginal pour q = 5.
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Exemple 2
R(q) = 50q et C(q) = q² + 10q + 100. Production optimale ?
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-
(x³)’ = ?
Réponse
a) 3x² — nxⁿ⁻¹. -
Le bénéfice est maximal quand…
Réponse
a) Rm = Cm — Condition marginaliste. -
Le coût marginal est…
Réponse
b) C'(q) — Dérivée du coût total.
المشتقة، منحى التغير، القيمة المثلى والكلفة الحدية.
∑ملخص الدرس
المشتقات
(k)’ = 0 ؛ (x)’ = 1 ؛ (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ ؛ (1/x)’ = −1/x² ؛ (u + v)’ = u’ + v’ ؛ (ku)’ = ku’ ؛ (uv)’ = u’v + uv’ ؛ (u/v)’ = (u’v − uv’)/v².
التغيرات والقيمة المثلى
f’ > 0: f تزايدية ؛ f’ < 0: تناقصية. إذا انعدمت f’ مع تغيير إشارتها، فلـ f قيمة قصوى (ربح أقصى، كلفة دنيا).
التحليل الحدي
الكلفة الحدية Cm(q) = C'(q): كلفة وحدة إضافية. يكون الربح قصويًا عندما Rm = Cm. وتكون الكلفة المتوسطة دنيا عندما CM = Cm.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
C(q) = q³ − 6q² + 15q. احسب الكلفة الحدية من أجل q = 5.
عرض الحل
مثال 2
R(q) = 50q و C(q) = q² + 10q + 100. الإنتاج الأمثل؟
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-
(x³)’ = ؟
الجواب
أ) 3x² — nxⁿ⁻¹. -
يكون الربح قصويًا عندما…
الجواب
أ) Rm = Cm — الشرط الحدي. -
الكلفة الحدية…
الجواب
ب) C'(q) — مشتقة الكلفة الإجمالية.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.