9. Vecteurs de l’espace
Calcul vectoriel dans l’espace, colinéarité et coplanarité.
∑Résumé du cours
Vecteurs
Les règles du plan (Chasles, somme, multiplication par un réel) restent valables dans l’espace.
Colinéarité et coplanarité
- u⃗ et v⃗ colinéaires s’il existe k tel que v⃗ = ku⃗ (ou u⃗ = 0⃗).
- u⃗, v⃗, w⃗ coplanaires si l’un s’écrit comme combinaison des deux autres : w⃗ = αu⃗ + βv⃗.
- Quatre points A, B, C, D sont coplanaires ⇔ AB⃗, AC⃗, AD⃗ coplanaires.
Droites et plans
Une droite est définie par un point et un vecteur directeur ; un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires. Une droite est parallèle à un plan si son vecteur directeur est combinaison des vecteurs directeurs du plan.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
ABCDEFGH est un cube. Montrer que AB⃗ + AD⃗ + AE⃗ = AG⃗.
Voir la correction
Exemple 2
u⃗ = i⃗ + j⃗, v⃗ = j⃗ + k⃗, w⃗ = i⃗ + 2j⃗ + k⃗. Coplanaires ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
A, B, C, D sont coplanaires si…
Réponse
a) AB⃗, AC⃗, AD⃗ sont coplanaires — Définition. -
Un plan est déterminé par un point et…
Réponse
b) deux vecteurs non colinéaires — Ses vecteurs directeurs. -
Si v⃗ = −3u⃗, alors u⃗ et v⃗ sont…
Réponse
b) colinéaires — v⃗ = ku⃗.
الحساب المتجهي في الفضاء، الاستقامية والمستوائية.
∑ملخص الدرس
المتجهات
تبقى قواعد المستوى (شال، المجموع، الضرب في عدد حقيقي) صالحة في الفضاء.
الاستقامية والمستوائية
- u⃗ و v⃗ مستقيميتان إذا وُجد k بحيث v⃗ = ku⃗ (أو u⃗ = 0⃗).
- u⃗، v⃗، w⃗ مستوائية إذا كُتبت إحداها تأليفة خطية للأخريين: w⃗ = αu⃗ + βv⃗.
- أربع نقط A، B، C، D مستوائية ⇔ AB⃗، AC⃗، AD⃗ مستوائية.
المستقيمات والمستويات
يُعرّف المستقيم بنقطة ومتجهة موجهة؛ والمستوى بنقطة ومتجهتين غير مستقيميتين. يكون مستقيم موازيًا لمستوى إذا كانت متجهته الموجهة تأليفة خطية لمتجهتي المستوى الموجهتين.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
ABCDEFGH مكعب. بيّن أن AB⃗ + AD⃗ + AE⃗ = AG⃗.
عرض الحل
مثال 2
u⃗ = i⃗ + j⃗، v⃗ = j⃗ + k⃗، w⃗ = i⃗ + 2j⃗ + k⃗. هل هي مستوائية؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
تكون A، B، C، D مستوائية إذا…
الجواب
أ) كانت AB⃗، AC⃗، AD⃗ مستوائية — التعريف. -
يتحدد مستوى بنقطة و…
الجواب
ب) متجهتين غير مستقيميتين — متجهتاه الموجهتان. -
إذا كان v⃗ = −3u⃗، فإن u⃗ و v⃗…
الجواب
ب) مستقيميتان — v⃗ = ku⃗.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.