4. Suites numériques

2BAC Sciences expérimentales et technologiques · Mathématiques · Chapitre 4المتتاليات العددية

≈ 7 minSemestre 12 exemples4 questions

Suites arithmétiques et géométriques, raisonnement par récurrence, monotonie et convergence.

∫Résumé du cours

Récurrence

Pour prouver P(n) pour tout n ≥ n₀ : initialisation (P(n₀) vraie), puis hérédité (si P(n) vraie, alors P(n + 1) vraie).

Suites de référence

Arithmétique de raison r : u_n+1 = u_n + r, u_n = u_p + (n − p)r ; somme de termes consécutifs = (nombre de termes) × (premier + dernier)/2.
Géométrique de raison q : u_n+1 = q u_n, u_n = u_p q^n−p ; somme = premier × (1 − q^{nombre de termes})/(1 − q) si q ≠ 1.

Limites

lim qⁿ : 0 si −1 < q < 1 ; 1 si q = 1 ; +∞ si q > 1 ; pas de limite si q ≤ −1.
lim nᵖ = +∞ (p > 0) ; lim 1/nᵖ = 0.
Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
Comparaison et encadrement : mêmes règles que pour les fonctions.

Suites u_n+1 = f(u_n)

Si f est continue sur I, f(I) ⊂ I et (u_n) converge vers ℓ ∈ I, alors ℓ est solution de f(ℓ) = ℓ.

Si u_n = f(n), la limite de (u_n) est celle de f en +∞.

Suites adjacentes

(u_n) croissante, (v_n) décroissante et lim (v_n − u_n) = 0 : elles convergent vers la même limite.

✎Exemples corrigés

Exemple 1

Soit u₀ = 1 et u_n+1 = √(u_n + 2). Montrer que 0 ≤ u_n ≤ 2, puis que (u_n) converge.

Voir la correction

Récurrence : 0 ≤ u₀ = 1 ≤ 2. Si 0 ≤ u_n ≤ 2, alors 2 ≤ u_n + 2 ≤ 4, donc 0 ≤ u_n+1 ≤ 2.
u_n+1² − u_n² = (2 − u_n)(u_n + 1) ≥ 0 : la suite est croissante.
Croissante et majorée par 2, elle converge. Sa limite vérifie ℓ = √(ℓ + 2), d’où ℓ² − ℓ − 2 = 0 et ℓ = 2.

Exemple 2

v_n = 3 × (1/2)ⁿ. Calculer S = v₀ + v₁ + … + v₉ et lim v_n.

Voir la correction

Suite géométrique de raison 1/2, 10 termes : S = 3 × (1 − (1/2)¹⁰)/(1 − 1/2) = 6(1 − 1/1024) ≈ 5,994.
−1 < 1/2 < 1 donc lim v_n = 0.

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

lim (0,9)ⁿ = ?

Réponse

a) 0 — −1 < 0,9 < 1.
Une suite croissante et majorée…

Réponse

b) converge — Théorème de convergence monotone.
Dans une récurrence, l’hérédité consiste à montrer…

Réponse

b) P(n) ⇒ P(n + 1) — On suppose P(n) vraie pour un n donné.
u arithmétique, u₀ = 5, r = 3 : u₁₀ = ?

Réponse

a) 35 — 5 + 10 × 3 = 35.

المتتاليات الحسابية والهندسية، الاستدلال بالترجع، الرتابة والتقارب.

∫ملخص الدرس

الاستدلال بالترجع

لإثبات P(n) لكل n ≥ n₀: التحقق (P(n₀) صحيحة)، ثم الوراثة (إذا كانت P(n) صحيحة فإن P(n + 1) صحيحة).

المتتاليات المرجعية

حسابية أساسها r: u_n+1 = u_n + r، u_n = u_p + (n − p)r؛ مجموع حدود متتابعة = (عدد الحدود) × (الحد الأول + الحد الأخير)/2.
هندسية أساسها q: u_n+1 = q u_n، u_n = u_p q^n−p؛ المجموع = الحد الأول × (1 − q^{عدد الحدود})/(1 − q) إذا كان q ≠ 1.

النهايات

lim qⁿ: 0 إذا كان −1 < q < 1؛ 1 إذا كان q = 1؛ +∞ إذا كان q > 1؛ لا نهاية لها إذا كان q ≤ −1.
lim nᵖ = +∞ (p > 0) ؛ lim 1/nᵖ = 0.
كل متتالية تزايدية ومكبورة متقاربة؛ وكل متتالية تناقصية ومصغورة متقاربة.
المقارنة والتأطير: نفس قواعد الدوال.

المتتاليات u_n+1 = f(u_n)

إذا كانت f متصلة على I و f(I) ⊂ I و (u_n) متقاربة نحو ℓ ∈ I، فإن ℓ حل للمعادلة f(ℓ) = ℓ.

إذا كان u_n = f(n) فإن نهاية (u_n) هي نهاية f عند +∞.

المتتاليتان المتجاورتان

(u_n) تزايدية، (v_n) تناقصية و lim (v_n − u_n) = 0: تتقاربان نحو نفس النهاية.

✎أمثلة محلولة

مثال 1

ليكن u₀ = 1 و u_n+1 = √(u_n + 2). بيّن أن 0 ≤ u_n ≤ 2، ثم أن (u_n) متقاربة.

عرض الحل

بالترجع: 0 ≤ u₀ = 1 ≤ 2. إذا كان 0 ≤ u_n ≤ 2 فإن 2 ≤ u_n + 2 ≤ 4، إذن 0 ≤ u_n+1 ≤ 2.
u_n+1² − u_n² = (2 − u_n)(u_n + 1) ≥ 0: المتتالية تزايدية.
تزايدية ومكبورة بـ 2، إذن متقاربة. نهايتها تحقق ℓ = √(ℓ + 2)، أي ℓ² − ℓ − 2 = 0 و ℓ = 2.

مثال 2

v_n = 3 × (1/2)ⁿ. احسب S = v₀ + v₁ + … + v₉ و lim v_n.