5. Fonctions primitives

2BAC Sciences expérimentales et technologiques · Mathématiques · Chapitre 5الدوال الأصلية

≈ 6 minSemestre 12 exemples4 questions

Retrouver une fonction à partir de sa dérivée : l’outil de base du calcul intégral.

∫Résumé du cours

Définition

F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F’ = f. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Si F est une primitive, les autres sont les fonctions F + c (c ∈ ℝ). Il existe une seule primitive qui prend une valeur donnée y₀ en x₀.

Primitives usuelles

f(x)	F(x)
a (constante)	ax
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹/(n + 1)
1/x²	−1/x
1/√x	2√x
cos x	sin x
sin x	−cos x
1 + tan² x	tan x

Formes composées

u’ uⁿ → uⁿ⁺¹/(n + 1) (n ≠ −1)
u’/u² → −1/u
u’/√u → 2√u
cos(ax + b) → (1/a) sin(ax + b) ; sin(ax + b) → −(1/a) cos(ax + b)
(u’ ∘ v) × v’ → u ∘ v (forme générale)

Les formes u’/u → ln|u| et u’ eᵘ → eᵘ seront vues avec ln et exp.

✎Exemples corrigés

Exemple 1

Déterminer une primitive de f(x) = 2x(x² + 1)³.

Voir la correction

On reconnaît u’ u³ avec u = x² + 1 (u’ = 2x).
F(x) = (x² + 1)⁴/4.

Exemple 2

Déterminer la primitive F de f(x) = 3x² − 2/x² sur ]0 ; +∞[ telle que F(1) = 0.

Voir la correction

F(x) = x³ + 2/x + c. F(1) = 1 + 2 + c = 0 donc c = −3.
F(x) = x³ + 2/x − 3.

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

Une primitive de cos(2x) est…

Réponse

b) (1/2) sin(2x) — On divise par a = 2.
Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent…

Réponse

a) d’une constante — (F − G)’ = 0, donc F − G est constante.
Une primitive de x/√(x² + 1) est…

Réponse

a) √(x² + 1) — Forme u’/(2√u) avec u = x² + 1.
Une primitive de x⁴ est…

Réponse

b) x⁵/5 — xⁿ⁺¹/(n + 1).

إيجاد دالة انطلاقًا من مشتقتها: الأداة الأساسية للحساب التكاملي.

∫ملخص الدرس

تعريف

F دالة أصلية لـ f على I إذا كانت F قابلة للاشتقاق على I و F’ = f. كل دالة متصلة على مجال تقبل دوالًا أصلية.

إذا كانت F دالة أصلية، فالدوال الأصلية الأخرى هي F + c (c ∈ ℝ). وتوجد دالة أصلية وحيدة تأخذ قيمة معلومة y₀ عند x₀.

الدوال الأصلية الاعتيادية

f(x)	F(x)
a (ثابتة)	ax
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹/(n + 1)
1/x²	−1/x
1/√x	2√x
cos x	sin x
sin x	−cos x
1 + tan² x	tan x

الأشكال المركبة

u’ uⁿ ← uⁿ⁺¹/(n + 1) (n ≠ −1)
u’/u² ← −1/u
u’/√u ← 2√u
cos(ax + b) ← (1/a) sin(ax + b) ؛ sin(ax + b) ← −(1/a) cos(ax + b)
(u’ ∘ v) × v’ ← u ∘ v (الشكل العام)

الشكلان u’/u ← ln|u| و u’ eᵘ ← eᵘ سيُدرسان مع ln و exp.

✎أمثلة محلولة

مثال 1

حدد دالة أصلية لـ f(x) = 2x(x² + 1)³.

عرض الحل

نتعرف على u’ u³ مع u = x² + 1 (u’ = 2x).
F(x) = (x² + 1)⁴/4.

مثال 2

حدد الدالة الأصلية F لـ f(x) = 3x² − 2/x² على ]0 ; +∞[ بحيث F(1) = 0.