7. Nombres complexes (partie 1)

∫Résumé du cours

Forme algébrique

ℂ contient un nombre i tel que i² = −1. Tout complexe s’écrit de façon unique z = a + ib (a, b réels) : a = Re(z), b = Im(z). z est réel si b = 0, imaginaire pur si a = 0.

Représentation

Dans un repère orthonormé (O ; u⃗, v⃗), z = a + ib est l’affixe du point M(a ; b) et du vecteur OM⃗. L’affixe de AB⃗ est z_B − z_A ; celle du milieu de [AB] est (z_A + z_B)/2.

Conjugué et module

• z̄ = a − ib ; z + z̄ = 2a ; z − z̄ = 2ib ; z z̄ = a² + b².
• |z| = √(a² + b²) = OM ; AB = |z_B − z_A|.
• |zz’| = |z||z’| ; |z/z’| = |z|/|z’| ; conjugué(zz’) = z̄ z̄’ .
• Pour diviser : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Argument et forme trigonométrique

Pour z ≠ 0, un argument θ est une mesure de l’angle (u⃗, OM⃗). Alors z = r(cos θ + i sin θ) avec r = |z|, noté [r, θ].

arg(zz’) ≡ arg z + arg z’ ; arg(z/z’) ≡ arg z − arg z’ ; arg(zⁿ) ≡ n arg z [2π].

Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Interprétations géométriques

(AB⃗, AC⃗) ≡ arg((z_C − z_A)/(z_B − z_A)) [2π]. A, B, C alignés ⇔ ce quotient est réel ; (AB) ⊥ (AC) ⇔ il est imaginaire pur.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. i³ = ?

   a) ib) −ic) −1
   Réponse

   b) −i — i³ = i² × i = −i.

2. |3 − 4i| = ?

   a) 5b) 7c) 1
   Réponse

   a) 5 — √(9 + 16) = 5.

3. Un argument de −2 est…

   a) 0b) πc) π/2
   Réponse

   b) π — −2 est sur la demi-droite des réels négatifs.

4. Si (z_C − z_A)/(z_B − z_A) est réel, alors A, B, C sont…

   a) alignésb) sur un cerclec) formant un triangle rectangle
   Réponse

   a) alignés — L’angle (AB⃗, AC⃗) vaut 0 ou π.

∫ملخص الدرس

الشكل الجبري

تحتوي ℂ على عدد i بحيث i² = −1. كل عدد عقدي يكتب بكيفية وحيدة z = a + ib (a و b حقيقيان): a = Re(z) و b = Im(z). يكون z حقيقيًا إذا كان b = 0، وتخيليًا صرفًا إذا كان a = 0.

التمثيل

في معلم متعامد ممنظم (O ; u⃗, v⃗)، z = a + ib هو لحق النقطة M(a ; b) والمتجهة OM⃗. لحق AB⃗ هو z_B − z_A؛ ولحق منتصف [AB] هو (z_A + z_B)/2.

المرافق والمعيار

• z̄ = a − ib ؛ z + z̄ = 2a ؛ z − z̄ = 2ib ؛ z z̄ = a² + b².
• |z| = √(a² + b²) = OM ؛ AB = |z_B − z_A|.
• |zz’| = |z||z’| ؛ |z/z’| = |z|/|z’| ؛ مرافق(zz’) = z̄ z̄’.
• للقسمة: نضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

العمدة والشكل المثلثي

من أجل z ≠ 0، العمدة θ قياس للزاوية (u⃗, OM⃗). إذن z = r(cos θ + i sin θ) مع r = |z|، ونرمز له بـ [r, θ].

arg(zz’) ≡ arg z + arg z’ ؛ arg(z/z’) ≡ arg z − arg z’ ؛ arg(zⁿ) ≡ n arg z [2π].

صيغة موافر: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

تأويلات هندسية

(AB⃗, AC⃗) ≡ arg((z_C − z_A)/(z_B − z_A)) [2π]. A و B و C مستقيمية ⇔ هذا الخارج حقيقي؛ (AB) ⊥ (AC) ⇔ هو تخيلي صرف.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. i³ = ؟

   أ) iب) −iج) −1
   الجواب

   ب) −i — i³ = i² × i = −i.

2. |3 − 4i| = ؟

   أ) 5ب) 7ج) 1
   الجواب

   أ) 5 — √(9 + 16) = 5.

3. عمدة لـ −2 هي…

   أ) 0ب) πج) π/2
   الجواب

   ب) π — −2 على نصف محور الأعداد الحقيقية السالبة.

4. إذا كان (z_C − z_A)/(z_B − z_A) حقيقيًا فإن A و B و C…

   أ) مستقيميةب) على دائرةج) تكوّن مثلثًا قائمًا
   الجواب

   أ) مستقيمية — الزاوية (AB⃗, AC⃗) تساوي 0 أو π.