8. Fonctions exponentielles
La fonction exp, réciproque de ln : règles de calcul, limites et exponentielle de base a.
∫Résumé du cours
Définition
exp est la réciproque de ln : pour tout x réel, y = eˣ ⇔ x = ln y (y > 0). Ainsi eˣ > 0, e⁰ = 1, e¹ = e, ln(eˣ) = x et eln x = x pour x > 0.
Propriétés
ea+b = eᵃ eᵇ ; e−a = 1/eᵃ ; ea−b = eᵃ/eᵇ ; (eᵃ)ʳ = era.
eᵃ = eᵇ ⇔ a = b ; eᵃ < eᵇ ⇔ a < b.
Dérivée et primitive
(eˣ)’ = eˣ ; (eᵘ)’ = u’ eᵘ. Une primitive de u’ eᵘ est eᵘ ; de eax+b : (1/a) eax+b.
Limites
- limx→+∞ eˣ = +∞ ; limx→−∞ eˣ = 0 (asymptote horizontale y = 0 en −∞).
- Croissances comparées : limx→+∞ eˣ/x = +∞ ; limx→−∞ x eˣ = 0 ; plus généralement eˣ/xⁿ → +∞ et xⁿ eˣ → 0 en −∞.
- limx→0 (eˣ − 1)/x = 1.
- Branche parabolique de direction (Oy) en +∞.
Exponentielle de base a
Pour a > 0 : aˣ = ex ln a, et (aˣ)’ = (ln a) aˣ. Croissante si a > 1, décroissante si 0 < a < 1.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Résoudre e2x − 3eˣ + 2 = 0.
Voir la correction
eˣ = 1 ⇒ x = 0 ; eˣ = 2 ⇒ x = ln 2. S = {0 ; ln 2}.
Exemple 2
Étudier les variations de f(x) = x eˣ.
Voir la correction
f est décroissante sur ]−∞ ; −1], croissante sur [−1 ; +∞[, avec un minimum f(−1) = −1/e. En −∞, f → 0 (croissance comparée).
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
eln 5 = ?
Réponse
a) 5 — exp et ln sont réciproques. -
(e3x)’ = ?
Réponse
b) 3e3x — (eᵘ)’ = u’ eᵘ. -
limx→+∞ eˣ/x² = ?
Réponse
c) +∞ — L’exponentielle l’emporte sur toute puissance. -
2ˣ = ?
Réponse
a) ex ln 2 — aˣ = ex ln a.
الدالة exp، العكسية لـ ln: قواعد الحساب، النهايات والدالة الأسية للأساس a.
∫ملخص الدرس
تعريف
exp هي الدالة العكسية لـ ln: لكل x حقيقي، y = eˣ ⇔ x = ln y (y > 0). إذن eˣ > 0، e⁰ = 1، e¹ = e، ln(eˣ) = x و eln x = x من أجل x > 0.
الخاصيات
ea+b = eᵃ eᵇ ؛ e−a = 1/eᵃ ؛ ea−b = eᵃ/eᵇ ؛ (eᵃ)ʳ = era.
eᵃ = eᵇ ⇔ a = b ؛ eᵃ < eᵇ ⇔ a < b.
المشتقة والدالة الأصلية
(eˣ)’ = eˣ ؛ (eᵘ)’ = u’ eᵘ. دالة أصلية لـ u’ eᵘ هي eᵘ ؛ ولـ eax+b: (1/a) eax+b.
النهايات
- limx→+∞ eˣ = +∞ ؛ limx→−∞ eˣ = 0 (مقارب أفقي y = 0 عند −∞).
- التزايد المقارن: limx→+∞ eˣ/x = +∞ ؛ limx→−∞ x eˣ = 0 ؛ وعمومًا eˣ/xⁿ ← +∞ و xⁿ eˣ ← 0 عند −∞.
- limx→0 (eˣ − 1)/x = 1.
- فرع شلجمي اتجاهه (Oy) عند +∞.
الدالة الأسية للأساس a
من أجل a > 0: aˣ = ex ln a، و (aˣ)’ = (ln a) aˣ. تزايدية إذا كان a > 1، وتناقصية إذا كان 0 < a < 1.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حل e2x − 3eˣ + 2 = 0.
عرض الحل
eˣ = 1 ⇒ x = 0 ؛ eˣ = 2 ⇒ x = ln 2. S = {0 ; ln 2}.
مثال 2
ادرس تغيرات f(x) = x eˣ.
عرض الحل
f تناقصية على ]−∞ ; −1] وتزايدية على [−1 ; +∞[، وقيمتها الدنيا f(−1) = −1/e. عند −∞، f ← 0 (تزايد مقارن).
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
eln 5 = ؟
الجواب
أ) 5 — exp و ln دالتان عكسيتان. -
(e3x)’ = ؟
الجواب
ب) 3e3x — (eᵘ)’ = u’ eᵘ. -
limx→+∞ eˣ/x² = ؟
الجواب
ج) +∞ — الدالة الأسية تغلب أي قوة. -
2ˣ = ؟
الجواب
أ) ex ln 2 — aˣ = ex ln a.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.