9. Nombres complexes (partie 2)

∫Résumé du cours

Forme exponentielle

On note e^iθ = cos θ + i sin θ. Tout z ≠ 0 s’écrit z = r e^iθ (r = |z|, θ = arg z).

e^iθ × e^iθ’ = e^i(θ+θ’) ; 1/e^iθ = e^−iθ ; (e^iθ)ⁿ = e^inθ.

Euler : cos θ = (e^iθ + e^−iθ)/2 ; sin θ = (e^iθ − e^−iθ)/(2i) — utiles pour linéariser cos²θ, sin³θ…

Équation az² + bz + c = 0 (a, b, c réels)

Δ = b² − 4ac.

• Δ > 0 : deux solutions réelles (−b ± √Δ)/(2a).
• Δ = 0 : une solution −b/(2a).
• Δ < 0 : deux solutions complexes conjuguées (−b ± i√(−Δ))/(2a).

Transformations (écriture complexe)

• Translation de vecteur d’affixe b : z’ = z + b.
• Homothétie de centre Ω(ω), rapport k réel : z’ − ω = k(z − ω).
• Rotation de centre Ω(ω), d’angle θ : z’ − ω = e^iθ(z − ω).

Une écriture z’ = az + b avec |a| = 1, a ≠ 1 est une rotation d’angle arg a ; avec a réel ≠ 1, une homothétie de rapport a. Le centre est le point fixe ω = b/(1 − a).

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. e^iπ = ?

   a) 1b) −1c) i
   Réponse

   b) −1 — cos π + i sin π = −1.

2. Si Δ < 0, les solutions de az² + bz + c = 0 (coefficients réels) sont…

   a) réellesb) conjuguéesc) nulles
   Réponse

   b) conjuguées — (−b ± i√(−Δ))/(2a).

3. z’ − ω = e^iπ/2(z − ω) est…

   a) une homothétieb) une rotation d’un quart de tourc) une translation
   Réponse

   b) une rotation d’un quart de tour — Rotation de centre Ω, d’angle π/2.

4. (e^iπ/6)⁶ = ?

   a) 1b) −1c) i
   Réponse

   b) −1 — e^iπ = −1.

∫ملخص الدرس

الشكل الأسي

نرمز بـ e^iθ = cos θ + i sin θ. كل z ≠ 0 يكتب z = r e^iθ (r = |z|، θ = arg z).

e^iθ × e^iθ’ = e^i(θ+θ’) ؛ 1/e^iθ = e^−iθ ؛ (e^iθ)ⁿ = e^inθ.

صيغتا أولر: cos θ = (e^iθ + e^−iθ)/2 ؛ sin θ = (e^iθ − e^−iθ)/(2i) — مفيدتان لإخطاط cos²θ و sin³θ…

المعادلة az² + bz + c = 0 (a و b و c حقيقية)

Δ = b² − 4ac.

• Δ > 0: حلان حقيقيان (−b ± √Δ)/(2a).
• Δ = 0: حل وحيد −b/(2a).
• Δ < 0: حلان عقديان مترافقان (−b ± i√(−Δ))/(2a).

التحويلات (الكتابة العقدية)

• الإزاحة ذات المتجهة التي لحقها b: z’ = z + b.
• التحاكي الذي مركزه Ω(ω) ونسبته k حقيقية: z’ − ω = k(z − ω).
• الدوران الذي مركزه Ω(ω) وزاويته θ: z’ − ω = e^iθ(z − ω).

الكتابة z’ = az + b مع |a| = 1 و a ≠ 1 هي دوران زاويته arg a؛ ومع a حقيقي ≠ 1 تحاك نسبته a. المركز هو النقطة الصامدة ω = b/(1 − a).

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. e^iπ = ؟

   أ) 1ب) −1ج) i
   الجواب

   ب) −1 — cos π + i sin π = −1.

2. إذا كان Δ < 0، فإن حلي az² + bz + c = 0 (معاملات حقيقية)…

   أ) حقيقيانب) مترافقانج) منعدمان
   الجواب

   ب) مترافقان — (−b ± i√(−Δ))/(2a).

3. z’ − ω = e^iπ/2(z − ω) هو…

   أ) تحاكب) دوران بربع دورةج) إزاحة
   الجواب

   ب) دوران بربع دورة — دوران مركزه Ω وزاويته π/2.

4. (e^iπ/6)⁶ = ؟

   أ) 1ب) −1ج) i
   الجواب

   ب) −1 — e^iπ = −1.