4. Fonction logarithme népérien
Définition, propriétés, limites et équations avec ln.
∑Résumé du cours
ln est définie sur ]0 ; +∞[, ln 1 = 0, ln e = 1, (ln x)’ = 1/x. ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(aⁿ) = n ln a.
Limites : ln x → +∞ en +∞, → −∞ en 0⁺ ; (ln x)/x → 0 ; x ln x → 0 en 0⁺.
(ln u)’ = u’/u ; primitive de u’/u : ln|u|.
Application : résoudre (1 + t)ⁿ = k ⇔ n = ln k / ln(1 + t) (durée d’un placement).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Résoudre ln(2x − 1) = 0.
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Exemple 2
Combien d’années pour doubler un capital à 6 % (composés) ?
Voir la correction
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Clique sur la bonne réponse.
-
ln(e²) = ?
Réponse
a) 2 — ln(eⁿ) = n. -
ln x < 0 ⇔
Réponse
b) 0 < x < 1 — ln 1 = 0, croissante. -
(ln(3x))’ = ?
Réponse
b) 1/x — 3/(3x).
التعريف، الخاصيات، النهايات والمعادلات بالدالة ln.
∑ملخص الدرس
الدالة ln معرفة على ]0 ; +∞[، ln 1 = 0، ln e = 1، (ln x)’ = 1/x. ln(ab) = ln a + ln b ؛ ln(a/b) = ln a − ln b ؛ ln(aⁿ) = n ln a.
النهايات: ln x → +∞ في +∞، → −∞ في 0⁺ ؛ (ln x)/x → 0 ؛ x ln x → 0 في 0⁺.
(ln u)’ = u’/u ؛ الدالة الأصلية لـ u’/u: ln|u|.
تطبيق: حل (1 + t)ⁿ = k ⇔ n = ln k / ln(1 + t) (مدة التوظيف).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حل ln(2x − 1) = 0.
عرض الحل
مثال 2
كم سنة يلزم لمضاعفة رأسمال بـ 6 % (فوائد مركبة)؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
ln(e²) = ؟
الجواب
أ) 2 — ln(eⁿ) = n. -
ln x < 0 ⇔
الجواب
ب) 0 < x < 1 — ln 1 = 0، تزايدية. -
(ln(3x))’ = ؟
الجواب
ب) 1/x — 3/(3x).
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.