3. Suites numériques
Suites arithmétiques et géométriques, limites et applications financières.
∑Résumé du cours
- Arithmétique : un+1 = un + r ; un = u₀ + nr ; somme = nombre de termes × (premier + dernier)/2.
- Géométrique : un+1 = q un ; un = u₀ qⁿ ; somme = premier × (1 − qnb termes)/(1 − q).
- Limite de qⁿ : 0 si |q| < 1 ; +∞ si q > 1.
- Suites un+1 = aun + b : on utilise une suite auxiliaire vn = un − ℓ (ℓ = b/(1 − a)) qui est géométrique.
Applications
Intérêts simples (arithmétique) : Cn = C₀(1 + nt). Intérêts composés (géométrique) : Cn = C₀(1 + t)ⁿ.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Un capital de 10 000 DH est placé à 5 % par an (intérêts composés). Valeur après 3 ans ?
Voir la correction
Exemple 2
u₀ = 1, un+1 = 0,5un + 2. Limite ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
Intérêts composés : suite…
Réponse
b) géométrique — On multiplie par (1 + t). -
lim 0,8ⁿ = ?
Réponse
a) 0 — |q| < 1. -
u arithmétique, u₀ = 2, r = 3 : u₅ = ?
Réponse
a) 17 — 2 + 5 × 3.
المتتاليات الحسابية والهندسية، النهايات والتطبيقات المالية.
∑ملخص الدرس
- حسابية: un+1 = un + r ؛ un = u₀ + nr ؛ المجموع = عدد الحدود × (الحد الأول + الحد الأخير)/2.
- هندسية: un+1 = q un ؛ un = u₀ qⁿ ؛ المجموع = الحد الأول × (1 − qعدد الحدود)/(1 − q).
- نهاية qⁿ: 0 إذا كان |q| < 1 ؛ +∞ إذا كان q > 1.
- المتتاليات un+1 = aun + b: نستعمل متتالية مساعدة vn = un − ℓ (ℓ = b/(1 − a)) وهي هندسية.
التطبيقات
الفوائد البسيطة (حسابية): Cn = C₀(1 + nt). الفوائد المركبة (هندسية): Cn = C₀(1 + t)ⁿ.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
رأسمال 10 000 درهم موظف بـ 5 % سنويًا (فوائد مركبة). القيمة بعد 3 سنوات؟
عرض الحل
مثال 2
u₀ = 1، un+1 = 0,5un + 2. النهاية؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
الفوائد المركبة: متتالية…
الجواب
ب) هندسية — نضرب في (1 + t). -
lim 0,8ⁿ = ؟
الجواب
أ) 0 — |q| < 1. -
u حسابية، u₀ = 2، r = 3: u₅ = ؟
الجواب
أ) 17 — 2 + 5 × 3.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.