3. Suites numériques
Convergence, suites adjacentes, suites récurrentes et suites définies implicitement.
∑Résumé du cours
Convergence
- Croissante majorée ⇒ convergente ; décroissante minorée ⇒ convergente.
- Suites adjacentes : (u) croissante, (v) décroissante, v − u → 0 ⇒ même limite.
- Comparaison, encadrement ; si un → ℓ et f continue en ℓ, f(un) → f(ℓ).
Suites un+1 = f(un)
Si I stable par f, f continue, et (un) convergente vers ℓ ∈ I, alors f(ℓ) = ℓ. Si f croissante sur I, (un) est monotone ; si |f’| ≤ k < 1, alors |un − ℓ| ≤ kⁿ|u₀ − ℓ| → 0.
Suites définies implicitement
un = unique solution de fn(x) = 0 : étudier fn, comparer fn+1(un) avec 0 pour la monotonie.
Limites usuelles
qⁿ ; nᵖ ; (1 + 1/n)ⁿ → e ; (ln n)/n → 0 ; nᵖ qⁿ → 0 si |q| < 1.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
un = Σk=1n 1/k², vn = un + 1/n. Montrer qu’elles sont adjacentes.
Voir la correction
Exemple 2
Si |un+1 − 2| ≤ (1/3)|un − 2| et u₀ = 5, majorer |un − 2|.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
lim (1 + 1/n)ⁿ = ?
Réponse
b) e — Limite remarquable. -
Deux suites adjacentes…
Réponse
b) convergent vers la même limite — Théorème. -
lim n² (0,5)ⁿ = ?
Réponse
a) 0 — Croissance comparée.
التقارب، المتتاليات المتحادية، المتتاليات الترجعية والمتتاليات المعرفة ضمنيًا.
∑ملخص الدرس
التقارب
- تزايدية ومكبورة ⇒ متقاربة ؛ تناقصية ومصغورة ⇒ متقاربة.
- متتاليتان متحاديتان: (u) تزايدية، (v) تناقصية، v − u → 0 ⇒ لهما نفس النهاية.
- المقارنة، التأطير؛ إذا كانت un → ℓ و f متصلة في ℓ، فإن f(un) → f(ℓ).
المتتاليات un+1 = f(un)
إذا كان I مستقرًا بـ f، و f متصلة، و (un) متقاربة نحو ℓ ∈ I، فإن f(ℓ) = ℓ. إذا كانت f تزايدية على I، فـ (un) رتيبة؛ وإذا كان |f’| ≤ k < 1، فإن |un − ℓ| ≤ kⁿ|u₀ − ℓ| → 0.
المتتاليات المعرفة ضمنيًا
un = الحل الوحيد للمعادلة fn(x) = 0: ندرس fn، ونقارن fn+1(un) مع 0 لدراسة الرتابة.
نهايات اعتيادية
qⁿ ؛ nᵖ ؛ (1 + 1/n)ⁿ → e ؛ (ln n)/n → 0 ؛ nᵖ qⁿ → 0 إذا كان |q| < 1.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
un = Σk=1n 1/k²، vn = un + 1/n. بيّن أنهما متحاديتان.
عرض الحل
مثال 2
إذا كان |un+1 − 2| ≤ (1/3)|un − 2| و u₀ = 5، كبّر |un − 2|.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
lim (1 + 1/n)ⁿ = ؟
الجواب
ب) e — نهاية مرجعية. -
متتاليتان متحاديتان…
الجواب
ب) تتقاربان نحو نفس النهاية — مبرهنة. -
lim n² (0,5)ⁿ = ؟
الجواب
أ) 0 — التزايد المقارن.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.