10. Espaces vectoriels
Espaces vectoriels réels, sous-espaces, familles libres et génératrices, bases et dimension.
∑Résumé du cours
Définition
(E, +, ·) est un ℝ-espace vectoriel si (E, +) est un groupe abélien et la loi externe vérifie : α(u + v) = αu + αv ; (α + β)u = αu + βu ; α(βu) = (αβ)u ; 1·u = u.
Exemples : ℝ², ℝ³, ℂ, l’ensemble des polynômes, M₂(ℝ), M₃(ℝ), l’ensemble des solutions de y » + ay’ + by = 0.
Sous-espace vectoriel
F ⊂ E non vide, stable par combinaison linéaire : αu + βv ∈ F.
Familles et bases
- Libre : α₁u₁ + … + αₙuₙ = 0 ⇒ tous les αᵢ = 0.
- Génératrice : tout vecteur est combinaison linéaire.
- Base = libre et génératrice ; tout vecteur s’écrit de façon unique. Toutes les bases ont le même nombre d’éléments : la dimension.
Matrices
Calcul dans M₂(ℝ), M₃(ℝ) : somme, produit (non commutatif), déterminant ; A inversible ⇔ det A ≠ 0.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Montrer que F = {(x, y, z) ∈ ℝ³ / x + y − z = 0} est un sous-espace de dimension 2.
Voir la correction
Exemple 2
La famille (1, 1), (2, 3) est-elle une base de ℝ² ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
dim ℝ³ = ?
Réponse
c) 3 — Base canonique. -
Une base est une famille…
Réponse
a) libre et génératrice — Définition. -
A ∈ M₂(ℝ) inversible ⇔
Réponse
a) det A ≠ 0 — Critère.
الفضاءات المتجهية الحقيقية، الفضاءات الجزئية، الأسر الحرة والمولدة، الأساسات والبعد.
∑ملخص الدرس
تعريف
(E, +, ·) فضاء متجهي حقيقي إذا كانت (E, +) زمرة تبادلية وكان القانون الخارجي يحقق: α(u + v) = αu + αv ؛ (α + β)u = αu + βu ؛ α(βu) = (αβ)u ؛ 1·u = u.
أمثلة: ℝ²، ℝ³، ℂ، مجموعة الحدوديات، M₂(ℝ)، M₃(ℝ)، مجموعة حلول y » + ay’ + by = 0.
الفضاء المتجهي الجزئي
F ⊂ E غير فارغ، مستقر بالتأليفة الخطية: αu + βv ∈ F.
الأسر والأساسات
- حرة: α₁u₁ + … + αₙuₙ = 0 ⇒ جميع αᵢ = 0.
- مولدة: كل متجهة تأليفة خطية لها.
- أساس = حرة ومولدة؛ تُكتب كل متجهة بكيفية وحيدة. لجميع الأساسات نفس عدد العناصر: البعد.
المصفوفات
الحساب في M₂(ℝ)، M₃(ℝ): المجموع، الجداء (غير تبادلي)، المحددة؛ A قابلة للقلب ⇔ det A ≠ 0.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
بيّن أن F = {(x, y, z) ∈ ℝ³ / x + y − z = 0} فضاء جزئي بعده 2.
عرض الحل
مثال 2
هل الأسرة (1, 1)، (2, 3) أساس لـ ℝ²؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
dim ℝ³ = ؟
الجواب
ج) 3 — الأساس القانوني. -
الأساس أسرة…
الجواب
أ) حرة ومولدة — التعريف. -
A ∈ M₂(ℝ) قابلة للقلب ⇔
الجواب
أ) det A ≠ 0 — المعيار.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.