2. Dérivation, théorème de Rolle et des accroissements finis

∑Résumé du cours

Dérivée de la réciproque

Si f bijective dérivable avec f'(f⁻¹(y)) ≠ 0 : (f⁻¹)'(y) = 1/f'(f⁻¹(y)). Ex. : (Arctan)'(x) = 1/(1 + x²) ; (ⁿ√x)’ = 1/(n ⁿ√(xⁿ⁻¹)).

Théorème de Rolle

f continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[, f(a) = f(b) ⇒ ∃ c ∈ ]a ; b[, f'(c) = 0.

Théorème des accroissements finis (TAF)

f continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ ⇒ ∃ c ∈ ]a ; b[, f(b) − f(a) = f'(c)(b − a).

Inégalité des accroissements finis

Si m ≤ f’ ≤ M sur ]a ; b[ : m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a). Si |f’| ≤ k : |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| (utile pour les suites u_n+1 = f(u_n) : |u_n+1 − ℓ| ≤ k|u_n − ℓ|).

Étude de fonctions

Branches infinies, convexité (f »), points d’inflexion, centre et axe de symétrie (voir chapitre Sciences expérimentales).

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. (Arctan x)’ = ?

   a) 1/(1 + x²)b) 1 + x²c) 1/√(1 − x²)
   Réponse

   a) 1/(1 + x²) — Dérivée de la réciproque de tan.

2. Rolle exige f(a) = …

   a) f(b)b) 0c) f'(a)
   Réponse

   a) f(b) — Puis f’ s’annule.

3. Le TAF donne f(b) − f(a) = …

   a) f'(c)(b − a)b) f(c)(b − a)c) f'(a)f'(b)
   Réponse

   a) f'(c)(b − a) — Valeur moyenne de la pente.

4. Si |f’| ≤ k, alors |f(x) − f(y)| ≤ …

   a) k|x − y|b) kc) |x − y|/k
   Réponse

   a) k|x − y| — Inégalité des AF.

∑ملخص الدرس

مشتقة الدالة العكسية

إذا كانت f تقابلية قابلة للاشتقاق و f'(f⁻¹(y)) ≠ 0: (f⁻¹)'(y) = 1/f'(f⁻¹(y)). مثال: (Arctan)'(x) = 1/(1 + x²) ؛ (ⁿ√x)’ = 1/(n ⁿ√(xⁿ⁻¹)).

مبرهنة رول

f متصلة على [a ; b]، قابلة للاشتقاق على ]a ; b[، و f(a) = f(b) ⇒ ∃ c ∈ ]a ; b[، f'(c) = 0.

مبرهنة التزايدات المنتهية

f متصلة على [a ; b]، قابلة للاشتقاق على ]a ; b[ ⇒ ∃ c ∈ ]a ; b[، f(b) − f(a) = f'(c)(b − a).

متفاوتة التزايدات المنتهية

إذا كان m ≤ f’ ≤ M على ]a ; b[: m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a). إذا كان |f’| ≤ k: |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| (مفيدة للمتتاليات u_n+1 = f(u_n): |u_n+1 − ℓ| ≤ k|u_n − ℓ|).

دراسة الدوال

الفروع اللانهائية، التقعر (f »)، نقط الانعطاف، مركز ومحور التماثل (انظر فصل العلوم التجريبية).

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. (Arctan x)’ = ؟

   أ) 1/(1 + x²)ب) 1 + x²ج) 1/√(1 − x²)
   الجواب

   أ) 1/(1 + x²) — مشتقة الدالة العكسية لـ tan.

2. تشترط مبرهنة رول f(a) = …

   أ) f(b)ب) 0ج) f'(a)
   الجواب

   أ) f(b) — ثم تنعدم f’.

3. تعطي مبرهنة التزايدات المنتهية f(b) − f(a) = …

   أ) f'(c)(b − a)ب) f(c)(b − a)ج) f'(a)f'(b)
   الجواب

   أ) f'(c)(b − a) — القيمة المتوسطة للميل.

4. إذا كان |f’| ≤ k، فإن |f(x) − f(y)| ≤ …

   أ) k|x − y|ب) kج) |x − y|/k
   الجواب

   أ) k|x − y| — متفاوتة التزايدات المنتهية.