7. Nombres complexes
Formes algébrique, trigonométrique, exponentielle ; racines n-ièmes ; équations ; géométrie.
∑Résumé du cours
Formes
z = a + ib = r eiθ. |zz’| = |z||z’| ; arg(zz’) ≡ arg z + arg z’. Moivre : (eiθ)ⁿ = einθ ; Euler : cos θ = (eiθ + e−iθ)/2.
Racines n-ièmes
Les solutions de zⁿ = r eiθ sont zₖ = ⁿ√r ei(θ + 2kπ)/n, k = 0, …, n − 1 : sommets d’un polygone régulier. Racines n-ièmes de l’unité : e2ikπ/n, leur somme est 0.
Équations du second degré à coefficients complexes
Δ = b² − 4ac ; on cherche δ tel que δ² = Δ (en posant δ = x + iy) ; z = (−b ± δ)/(2a).
Géométrie
- (AB⃗, AC⃗) ≡ arg((c − a)/(b − a)) ; alignement, orthogonalité, cocyclicité (birapport réel).
- Translation z’ = z + b ; homothétie z’ − ω = k(z − ω) ; rotation z’ − ω = eiθ(z − ω) ; similitude z’ = az + b.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Résoudre z³ = 8i.
Voir la correction
Exemple 2
Trouver les racines carrées de 3 + 4i.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
Somme des racines n-ièmes de l’unité (n ≥ 2) :
Réponse
a) 0 — Suite géométrique. -
Les racines cubiques de 1 forment…
Réponse
a) un triangle équilatéral — Polygone régulier. -
|eiθ| = ?
Réponse
a) 1 — Cercle unité.
الكتابات الجبرية والمثلثية والأسية؛ الجذور من الرتبة n؛ المعادلات؛ الهندسة.
∑ملخص الدرس
الكتابات
z = a + ib = r eiθ. |zz’| = |z||z’| ؛ arg(zz’) ≡ arg z + arg z’. صيغة موافر: (eiθ)ⁿ = einθ ؛ صيغة أولر: cos θ = (eiθ + e−iθ)/2.
الجذور من الرتبة n
حلول المعادلة zⁿ = r eiθ هي zₖ = ⁿ√r ei(θ + 2kπ)/n، k = 0، …، n − 1: رؤوس مضلع منتظم. الجذور من الرتبة n للوحدة: e2ikπ/n، ومجموعها 0.
معادلات الدرجة الثانية بمعاملات عقدية
Δ = b² − 4ac ؛ نبحث عن δ بحيث δ² = Δ (بوضع δ = x + iy) ؛ z = (−b ± δ)/(2a).
الهندسة
- (AB⃗, AC⃗) ≡ arg((c − a)/(b − a)) ؛ الاستقامية، التعامد، تداور النقط (النسبة المزدوجة حقيقية).
- الإزاحة z’ = z + b ؛ التحاكي z’ − ω = k(z − ω) ؛ الدوران z’ − ω = eiθ(z − ω) ؛ التشابه z’ = az + b.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حل المعادلة z³ = 8i.
عرض الحل
مثال 2
حدد الجذرين المربعين للعدد 3 + 4i.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
مجموع الجذور من الرتبة n للوحدة (n ≥ 2):
الجواب
أ) 0 — متتالية هندسية. -
الجذور المكعبة للعدد 1 تكوّن…
الجواب
أ) مثلثًا متساوي الأضلاع — مضلع منتظم. -
|eiθ| = ؟
الجواب
أ) 1 — دائرة الوحدة.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.