5. Primitives et calcul intégral
Intégrale, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann, fonctions définies par une intégrale.
∑Résumé du cours
Intégrale
∫ab f = F(b) − F(a). Linéarité, Chasles, positivité, croissance, inégalité de la moyenne : |∫f| ≤ ∫|f| ; m(b − a) ≤ ∫f ≤ M(b − a).
Techniques
- Par parties : ∫u v’ = [uv] − ∫u’v.
- Changement de variable : ∫ab f(φ(t))φ'(t) dt = ∫φ(a)φ(b) f(x) dx.
Sommes de Riemann
Si f continue sur [a ; b] : ((b − a)/n) Σk=1n f(a + k(b − a)/n) → ∫ab f.
Fonction F(x) = ∫ax f(t) dt
Dérivable, F’ = f. Plus généralement (∫u(x)v(x) f)’ = v’f(v) − u’f(u).
Aires et volumes
A = ∫|f − g| ; V = π∫f².
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Calculer lim (1/n) Σk=1n k/(n + k).
Voir la correction
Exemple 2
Calculer ∫1e ln x dx.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
(∫0x² f(t) dt)’ = ?
Réponse
b) 2x f(x²) — v’f(v). -
Les sommes de Riemann convergent vers…
Réponse
b) ∫ab f — f continue. -
∫0π sin x dx = ?
Réponse
b) 2 — [−cos x].
التكامل، المكاملة بالأجزاء، تغيير المتغير، مجاميع ريمان، الدوال المعرفة بتكامل.
∑ملخص الدرس
التكامل
∫ab f = F(b) − F(a). الخطانية، علاقة شال، الموجبية، التزايد، متفاوتة القيمة المتوسطة: |∫f| ≤ ∫|f| ؛ m(b − a) ≤ ∫f ≤ M(b − a).
التقنيات
- المكاملة بالأجزاء: ∫u v’ = [uv] − ∫u’v.
- تغيير المتغير: ∫ab f(φ(t))φ'(t) dt = ∫φ(a)φ(b) f(x) dx.
مجاميع ريمان
إذا كانت f متصلة على [a ; b]: ((b − a)/n) Σk=1n f(a + k(b − a)/n) → ∫ab f.
الدالة F(x) = ∫ax f(t) dt
قابلة للاشتقاق، F’ = f. وبصفة عامة (∫u(x)v(x) f)’ = v’f(v) − u’f(u).
المساحات والحجوم
A = ∫|f − g| ؛ V = π∫f².
✎أمثلة محلولة
مثال 1
احسب lim (1/n) Σk=1n k/(n + k).
عرض الحل
مثال 2
احسب ∫1e ln x dx.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
(∫0x² f(t) dt)’ = ؟
الجواب
ب) 2x f(x²) — v’f(v). -
تتقارب مجاميع ريمان نحو…
الجواب
ب) ∫ab f — f متصلة. -
∫0π sin x dx = ؟
الجواب
ب) 2 — [−cos x].
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.