6. Équations différentielles
y’ = ay + b et y » + ay’ + by = 0.
∑Résumé du cours
y’ = ay + b (a ≠ 0) : y = k eax − b/a.
y » + ay’ + by = 0 : r² + ar + b = 0.
- Δ > 0 : y = αer₁x + βer₂x.
- Δ = 0 : y = (αx + β)erx.
- Δ < 0, r = p ± iq : y = epx(α cos qx + β sin qx).
Avec second membre : solution générale = solution particulière + solution de l’équation homogène.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Résoudre y » + 2y’ + 5y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0.
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Exemple 2
Résoudre y’ + y = 2.
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y » − 4y = 0 :
Réponse
a) αe2x + βe−2x — r = ±2. -
y » + 9y = 0 a pour période…
Réponse
a) 2π/3 — ω = 3. -
Solution générale avec second membre :
Réponse
a) particulière + homogène — Principe de superposition.
y’ = ay + b و y » + ay’ + by = 0.
∑ملخص الدرس
y’ = ay + b (a ≠ 0): y = k eax − b/a.
y » + ay’ + by = 0: المعادلة المميزة r² + ar + b = 0.
- Δ > 0: y = αer₁x + βer₂x.
- Δ = 0: y = (αx + β)erx.
- Δ < 0، r = p ± iq: y = epx(α cos qx + β sin qx).
مع طرف ثان: الحل العام = حل خاص + حل المعادلة المتجانسة.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حل y » + 2y’ + 5y = 0، y(0) = 1، y'(0) = 0.
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مثال 2
حل y’ + y = 2.
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y » − 4y = 0:
الجواب
أ) αe2x + βe−2x — r = ±2. -
دور حلول y » + 9y = 0 هو…
الجواب
أ) 2π/3 — ω = 3. -
الحل العام مع طرف ثان:
الجواب
أ) خاص + متجانس — مبدأ التراكب.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.