12. Dénombrement et probabilités
Combinatoire, probabilités conditionnelles, variables aléatoires et loi binomiale.
∑Résumé du cours
Dénombrement
Arrangements Anp = n!/(n − p)! ; combinaisons Cnp ; binôme de Newton (a + b)ⁿ = Σ Cnk aᵏ bⁿ⁻ᵏ ; Cnp = Cn−1p−1 + Cn−1p (Pascal).
Probabilités
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ; pB(A) = p(A ∩ B)/p(B) ; formule des probabilités totales sur un système complet ; indépendance.
Variables aléatoires
Loi, fonction de répartition F(x) = p(X ≤ x), espérance E(X) = Σxᵢpᵢ, variance V(X) = E(X²) − E(X)², écart-type.
Loi binomiale B(n, p)
p(X = k) = Cnk pᵏ(1 − p)n−k ; E = np ; V = np(1 − p).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Développer (1 + x)⁴.
Voir la correction
Exemple 2
Une urne : 3 rouges, 2 noires ; on tire 3 boules successivement avec remise. X = nombre de rouges. E(X) ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
Σk=0n Cnk = ?
Réponse
b) 2ⁿ — (1 + 1)ⁿ. -
V(X) pour B(10 ; 0,5) :
Réponse
a) 2,5 — np(1 − p). -
F(x) = p(X ≤ x) est…
Réponse
a) croissante — Fonction de répartition.
التعداد، الاحتمالات الشرطية، المتغيرات العشوائية والقانون الحداني.
∑ملخص الدرس
التعداد
الترتيبات Anp = n!/(n − p)! ؛ التأليفات Cnp ؛ حدانية نيوتن (a + b)ⁿ = Σ Cnk aᵏ bⁿ⁻ᵏ ؛ Cnp = Cn−1p−1 + Cn−1p (باسكال).
الاحتمالات
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ؛ pB(A) = p(A ∩ B)/p(B) ؛ صيغة الاحتمالات الكلية على تجزيء؛ الاستقلالية.
المتغيرات العشوائية
قانون الاحتمال، دالة التجزيء F(x) = p(X ≤ x)، الأمل الرياضي E(X) = Σxᵢpᵢ، المغايرة V(X) = E(X²) − E(X)²، الانحراف الطرازي.
القانون الحداني B(n, p)
p(X = k) = Cnk pᵏ(1 − p)n−k ؛ E = np ؛ V = np(1 − p).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
انشر (1 + x)⁴.
عرض الحل
مثال 2
صندوق: 3 كرات حمراء، 2 سوداوان؛ نسحب 3 كرات بالتتابع وبإحلال. X = عدد الكرات الحمراء. E(X)؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
Σk=0n Cnk = ؟
الجواب
ب) 2ⁿ — (1 + 1)ⁿ. -
V(X) بالنسبة لـ B(10 ; 0,5):
الجواب
أ) 2,5 — np(1 − p). -
الدالة F(x) = p(X ≤ x)…
الجواب
أ) تزايدية — دالة التجزيء.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.