11. Géométrie dans l’espace
Produit scalaire, produit vectoriel, plans, droites et sphères.
∑Résumé du cours
u⃗·v⃗ = xx’ + yy’ + zz’ ; plan ax + by + cz + d = 0 de normale (a ; b ; c) ; d(M, P) = |ax + by + cz + d|/√(a² + b² + c²).
u⃗ ∧ v⃗ = (bc’ − cb’ ; ca’ − ac’ ; ab’ − ba’) ; aire ABC = ½‖AB⃗ ∧ AC⃗‖ ; d(M, D) = ‖AM⃗ ∧ u⃗‖/‖u⃗‖.
Sphère (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² ; position sphère-plan selon d(Ω, P) et R ; sphère-droite selon d(Ω, D).
Représentation paramétrique de la droite (A, u⃗) : M = A + t u⃗.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Distance de O au plan x + 2y + 2z − 6 = 0.
Voir la correction
Exemple 2
Normale au plan passant par A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
u⃗ ∧ u⃗ = ?
Réponse
a) 0⃗ — Colinéaires. -
Plan tangent à la sphère si…
Réponse
a) d = R — Un seul point. -
‖u⃗ ∧ v⃗‖ = ‖u⃗‖‖v⃗‖ × …
Réponse
a) |sin θ| — Aire du parallélogramme.
الجداء السلمي، الجداء المتجهي، المستويات، المستقيمات والفلكات.
∑ملخص الدرس
u⃗·v⃗ = xx’ + yy’ + zz’ ؛ المستوى ax + by + cz + d = 0 منظمته (a ; b ; c) ؛ d(M, P) = |ax + by + cz + d|/√(a² + b² + c²).
u⃗ ∧ v⃗ = (bc’ − cb’ ; ca’ − ac’ ; ab’ − ba’) ؛ مساحة ABC = ½‖AB⃗ ∧ AC⃗‖ ؛ d(M, D) = ‖AM⃗ ∧ u⃗‖/‖u⃗‖.
الفلكة (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² ؛ الوضع النسبي لفلكة ومستوى حسب d(Ω, P) و R ؛ فلكة ومستقيم حسب d(Ω, D).
التمثيل البارامتري للمستقيم (A, u⃗): M = A + t u⃗.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
مسافة O عن المستوى x + 2y + 2z − 6 = 0.
عرض الحل
مثال 2
منظمية المستوى المار من A(1;0;0)، B(0;2;0)، C(0;0;3).
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
u⃗ ∧ u⃗ = ؟
الجواب
أ) 0⃗ — مستقيميتان. -
يكون المستوى مماسًا للفلكة إذا كان…
الجواب
أ) d = R — نقطة واحدة. -
‖u⃗ ∧ v⃗‖ = ‖u⃗‖‖v⃗‖ × …
الجواب
أ) |sin θ| — مساحة متوازي الأضلاع.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.