8. Oscillations libres d’un circuit RLC série
Échange d’énergie entre condensateur et bobine : régimes périodique, pseudo-périodique et apériodique.
ΦRésumé du cours
Circuit LC idéal (R = 0)
Équation : d²uC/dt² + (1/LC) uC = 0. Solution : uC(t) = Um cos(2πt/T₀ + φ), période propre T₀ = 2π√(LC).
L’énergie totale E = CuC²/2 + Li²/2 reste constante : elle passe du condensateur à la bobine.
Circuit RLC (amortissement)
L d²uC/dt² + R duC/dt + uC/C = 0. L’énergie diminue (effet Joule, dE/dt = −Ri²).
- R faible : régime pseudo-périodique, pseudo-période T ≈ T₀.
- R grand : régime apériodique (pas d’oscillation) ; à la limite, régime critique.
Entretien des oscillations
Un générateur qui fournit une tension uG = R₀ i (résistance négative) compense les pertes si R₀ = R : on retrouve des oscillations sinusoïdales de période T₀.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
L = 40 mH, C = 1 µF. Calculer T₀ et N₀.
Voir la correction
Exemple 2
C = 1 µF chargé sous 6 V est relié à une bobine idéale. Intensité maximale si L = 40 mH ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
T₀ = ?
Réponse
a) 2π√(LC) — Période propre. -
Si on quadruple C, T₀ est…
Réponse
a) doublée — T₀ ∝ √C. -
Dans un RLC, l’énergie diminue à cause de…
Réponse
c) R — Effet Joule. -
R grand donne un régime…
Réponse
a) apériodique — Pas d’oscillation.
تبادل الطاقة بين المكثف والوشيعة: الأنظمة الدوري وشبه الدوري واللادوري.
Φملخص الدرس
دارة LC مثالية (R = 0)
المعادلة: d²uC/dt² + (1/LC) uC = 0. الحل: uC(t) = Um cos(2πt/T₀ + φ)، والدور الخاص T₀ = 2π√(LC).
تبقى الطاقة الكلية E = CuC²/2 + Li²/2 ثابتة: تنتقل من المكثف إلى الوشيعة.
دارة RLC (الخمود)
L d²uC/dt² + R duC/dt + uC/C = 0. تتناقص الطاقة (مفعول جول، dE/dt = −Ri²).
- R صغيرة: نظام شبه دوري، شبه الدور T ≈ T₀.
- R كبيرة: نظام لادوري (لا تذبذب)؛ وفي الحالة الحدية، نظام حرج.
صيانة التذبذبات
مولد يزود توترًا uG = R₀ i (مقاومة سالبة) يعوض الضياع إذا كان R₀ = R: نحصل من جديد على تذبذبات جيبية دورها T₀.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
L = 40 mH و C = 1 µF. احسب T₀ و N₀.
عرض الحل
مثال 2
مكثف C = 1 µF مشحون تحت 6 V يُربط بوشيعة مثالية. ما الشدة القصوى إذا كان L = 40 mH؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
T₀ = ؟
الجواب
أ) 2π√(LC) — الدور الخاص. -
إذا ضربنا C في 4، فإن T₀…
الجواب
أ) يتضاعف — T₀ ∝ √C. -
في دارة RLC، تتناقص الطاقة بسبب…
الجواب
ج) R — مفعول جول. -
R كبيرة تعطي نظامًا…
الجواب
أ) لادوريًا — لا تذبذب.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.