12. Chute verticale d’un solide
Chute libre, poussée d’Archimède, frottements fluides, vitesse limite et méthode d’Euler.
ΦRésumé du cours
Chute libre
Seul le poids agit : a = g. Avec un axe vertical vers le bas : v = gt + v₀, z = gt²/2 + v₀t + z₀.
Chute avec frottements
Forces : poids P = mg, poussée d’Archimède FA = ρf V g, frottement f = kv (petites vitesses) ou kv².
Équation : dv/dt = A − Bv (ou A − Bv²) avec A = g(1 − ρfV/m).
- Régime initial : v augmente ; a₀ = A.
- Régime permanent : a = 0, vitesse limite vℓ = A/B (ou √(A/B)).
- Temps caractéristique τ = vℓ/a₀ (tangente à l’origine).
Méthode d’Euler
Résolution numérique pas à pas : ai = A − Bvi ; vi+1 = vi + ai Δt. Plus Δt est petit, plus la solution est précise.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Une bille obéit à dv/dt = 9,6 − 2v. Vitesse limite et τ ?
Voir la correction
Exemple 2
Méthode d’Euler, Δt = 0,1 s, v₀ = 0 pour la même équation : calculer v₁ et v₂.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
En chute libre, a = ?
Réponse
b) g — Indépendante de la masse. -
En régime permanent, l’accélération est…
Réponse
b) nulle — v = vℓ constante. -
La poussée d’Archimède dépend…
Réponse
a) du volume immergé et du fluide — ρf V g. -
Euler : vi+1 = ?
Réponse
a) vi + aiΔt — Approximation de la dérivée.
السقوط الحر، دافعة أرخميدس، الاحتكاكات المائعة، السرعة الحدية وطريقة أولر.
Φملخص الدرس
السقوط الحر
يؤثر الوزن وحده: a = g. مع محور رأسي موجه نحو الأسفل: v = gt + v₀، z = gt²/2 + v₀t + z₀.
السقوط مع الاحتكاك
القوى: الوزن P = mg، دافعة أرخميدس FA = ρf V g، الاحتكاك f = kv (سرعات صغيرة) أو kv².
المعادلة: dv/dt = A − Bv (أو A − Bv²) مع A = g(1 − ρfV/m).
- النظام البدئي: v تزداد؛ a₀ = A.
- النظام الدائم: a = 0، السرعة الحدية vℓ = A/B (أو √(A/B)).
- الزمن المميز τ = vℓ/a₀ (المماس عند الأصل).
طريقة أولر
حل رقمي خطوة بخطوة: ai = A − Bvi ؛ vi+1 = vi + ai Δt. كلما كانت Δt صغيرة كان الحل أدق.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
كرية تخضع للمعادلة dv/dt = 9,6 − 2v. السرعة الحدية و τ؟
عرض الحل
مثال 2
طريقة أولر، Δt = 0,1 s و v₀ = 0 لنفس المعادلة: احسب v₁ و v₂.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
في السقوط الحر، a = ؟
الجواب
ب) g — لا تتعلق بالكتلة. -
في النظام الدائم، التسارع…
الجواب
ب) منعدم — v = vℓ ثابتة. -
تتعلق دافعة أرخميدس…
الجواب
أ) بالحجم المغمور وبالمائع — ρf V g. -
أولر: vi+1 = ؟
الجواب
أ) vi + aiΔt — تقريب للمشتقة.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.