3. Applications
Image, antécédent, injection, surjection, bijection et composition.
∑Résumé du cours
Définitions
Une application f : E → F associe à chaque x de E un unique f(x) de F. Image directe f(A) ; image réciproque f⁻¹(B) = {x ∈ E / f(x) ∈ B}.
Injection, surjection, bijection
- Injective : f(x) = f(x’) ⇒ x = x’ (tout élément de F a au plus un antécédent).
- Surjective : tout y de F a au moins un antécédent.
- Bijective : injective et surjective ; alors f⁻¹ existe et f⁻¹ ∘ f = IdE, f ∘ f⁻¹ = IdF.
Composition
g ∘ f (x) = g(f(x)). La composée de deux injections (surjections, bijections) en est une ; (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹.
Restriction et prolongement : on change l’ensemble de départ.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3. Montrer que f est bijective et donner f⁻¹.
Voir la correction
Exemple 2
g : ℝ → ℝ, g(x) = x². g est-elle injective ? surjective ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
f est injective si…
Réponse
b) f(x) = f(x’) ⇒ x = x’ — Au plus un antécédent. -
(g ∘ f)⁻¹ = …
Réponse
b) f⁻¹ ∘ g⁻¹ — On inverse l’ordre. -
x ↦ x³ de ℝ vers ℝ est…
Réponse
a) bijective — Strictement croissante et continue de ℝ sur ℝ.
الصورة، السابق، التطبيق التبايني، الشمولي، التقابلي والتركيب.
∑ملخص الدرس
تعاريف
التطبيق f : E → F يربط كل x من E بعنصر وحيد f(x) من F. الصورة المباشرة f(A) ؛ الصورة العكسية f⁻¹(B) = {x ∈ E / f(x) ∈ B}.
التباين، الشمول، التقابل
- تبايني: f(x) = f(x’) ⇒ x = x’ (لكل عنصر من F سابق واحد على الأكثر).
- شمولي: لكل y من F سابق واحد على الأقل.
- تقابلي: تبايني وشمولي؛ إذن f⁻¹ موجود و f⁻¹ ∘ f = IdE، f ∘ f⁻¹ = IdF.
التركيب
g ∘ f (x) = g(f(x)). مركب تطبيقين تباينيين (شموليين، تقابليين) هو كذلك؛ (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹.
القصور والتمديد: نغير مجموعة الانطلاق.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
f : ℝ → ℝ، f(x) = 2x + 3. بيّن أن f تقابلي وحدد f⁻¹.
عرض الحل
مثال 2
g : ℝ → ℝ، g(x) = x². هل g تبايني؟ شمولي؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
يكون f تباينيًا إذا…
الجواب
ب) f(x) = f(x’) ⇒ x = x’ — سابق واحد على الأكثر. -
(g ∘ f)⁻¹ = …
الجواب
ب) f⁻¹ ∘ g⁻¹ — نعكس الترتيب. -
x ↦ x³ من ℝ نحو ℝ…
الجواب
أ) تقابلي — متصل وتزايدي قطعًا من ℝ نحو ℝ.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.