2. Ensembles
Inclusion, opérations sur les ensembles et produit cartésien.
∑Résumé du cours
Inclusion et égalité
A ⊂ E si tout élément de A est dans E. A = B ⇔ A ⊂ B et B ⊂ A. L’ensemble des parties de E se note 𝒫(E) ; si card E = n, card 𝒫(E) = 2ⁿ.
Opérations
- Intersection A ∩ B, réunion A ∪ B, complémentaire CEA = Ā, différence A \ B = A ∩ B̄.
- Distributivité : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ; A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
- Morgan : complémentaire de A ∪ B = Ā ∩ B̄ ; de A ∩ B = Ā ∪ B̄.
- Différence symétrique : A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Produit cartésien
A × B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} ; card(A × B) = card A × card B.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
E = {1,2,3,4,5}, A = {1,2,3}, B = {2,4}. Calculer A ∩ B, A ∪ B, A \ B et A Δ B.
Voir la correction
Exemple 2
Combien de parties a l’ensemble {a, b, c} ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
A \ B = …
Réponse
a) A ∩ B̄ — Éléments de A qui ne sont pas dans B. -
card 𝒫(E) si card E = 4 ?
Réponse
b) 16 — 2⁴ = 16. -
Le complémentaire de A ∪ B est…
Réponse
b) Ā ∩ B̄ — Morgan.
الاحتواء، العمليات على المجموعات والجداء الديكارتي.
∑ملخص الدرس
الاحتواء والتساوي
A ⊂ E إذا كان كل عنصر من A في E. A = B ⇔ A ⊂ B و B ⊂ A. يُرمز لمجموعة أجزاء E بـ 𝒫(E) ؛ إذا كان card E = n، فإن card 𝒫(E) = 2ⁿ.
العمليات
- التقاطع A ∩ B، الاتحاد A ∪ B، المتمم CEA = Ā، الفرق A \ B = A ∩ B̄.
- التوزيعية: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ؛ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
- موركان: متمم A ∪ B = Ā ∩ B̄ ؛ متمم A ∩ B = Ā ∪ B̄.
- الفرق التماثلي: A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
الجداء الديكارتي
A × B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} ؛ card(A × B) = card A × card B.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
E = {1,2,3,4,5}، A = {1,2,3}، B = {2,4}. احسب A ∩ B، A ∪ B، A \ B و A Δ B.
عرض الحل
مثال 2
كم جزءًا للمجموعة {a, b, c}؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
A \ B = …
الجواب
أ) A ∩ B̄ — عناصر A التي ليست في B. -
card 𝒫(E) إذا كان card E = 4؟
الجواب
ب) 16 — 2⁴ = 16. -
متمم A ∪ B هو…
الجواب
ب) Ā ∩ B̄ — موركان.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.