13. Dérivation et étude de fonctions
Nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles et tableau de variations.
∑Résumé du cours
Nombre dérivé
f'(a) = limh→0 (f(a + h) − f(a))/h. Tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a). Approximation affine : f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a).
Dérivées
(xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ ; (√x)’ = 1/(2√x) ; (sin x)’ = cos x ; (cos x)’ = −sin x ; (uv)’ = u’v + uv’ ; (u/v)’ = (u’v − uv’)/v² ; (f(ax + b))’ = a f'(ax + b).
Applications
- Signe de f’ → variations ; f’ s’annule en changeant de signe → extremum.
- Asymptotes horizontales et verticales, asymptote oblique y = ax + b si lim (f(x) − (ax + b)) = 0.
- Centre et axe de symétrie : f(2a − x) + f(x) = 2b ; f(2a − x) = f(x).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Équation de la tangente à f(x) = x² − 3x en a = 1.
Voir la correction
Exemple 2
Variations de f(x) = x³ − 12x.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
(cos 2x)’ = ?
Réponse
a) −2 sin 2x — (f(ax))’ = a f'(ax). -
Si f’ > 0 sur I, alors f est…
Réponse
b) strictement croissante — Lien signe-variations. -
Pente de la tangente en a :
Réponse
b) f'(a) — Le nombre dérivé.
العدد المشتق، المماس، المشتقات الاعتيادية وجدول التغيرات.
∑ملخص الدرس
العدد المشتق
f'(a) = limh→0 (f(a + h) − f(a))/h. المماس: y = f'(a)(x − a) + f(a). التقريب التآلفي: f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a).
المشتقات
(xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ ؛ (√x)’ = 1/(2√x) ؛ (sin x)’ = cos x ؛ (cos x)’ = −sin x ؛ (uv)’ = u’v + uv’ ؛ (u/v)’ = (u’v − uv’)/v² ؛ (f(ax + b))’ = a f'(ax + b).
التطبيقات
- إشارة f’ ← التغيرات؛ f’ تنعدم مع تغيير الإشارة ← قيمة قصوى.
- المقاربات الأفقية والعمودية، المقارب المائل y = ax + b إذا كان lim (f(x) − (ax + b)) = 0.
- مركز ومحور التماثل: f(2a − x) + f(x) = 2b ؛ f(2a − x) = f(x).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
معادلة المماس لـ f(x) = x² − 3x في a = 1.
عرض الحل
مثال 2
تغيرات f(x) = x³ − 12x.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
(cos 2x)’ = ؟
الجواب
أ) −2 sin 2x — (f(ax))’ = a f'(ax). -
إذا كانت f’ > 0 على I، فإن f…
الجواب
ب) تزايدية قطعًا — العلاقة بين الإشارة والتغيرات. -
ميل المماس في a:
الجواب
ب) f'(a) — العدد المشتق.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.