14. Suites numériques
Généralités, suites arithmétiques et géométriques, récurrence.
∑Résumé du cours
Généralités
Une suite peut être définie explicitement (un = f(n)) ou par récurrence (un+1 = f(un)). Monotonie : signe de un+1 − un (ou comparer un+1/un à 1 si un > 0). Suite majorée, minorée, bornée.
Raisonnement par récurrence
Initialisation, puis hérédité P(n) ⇒ P(n + 1).
Suites arithmétiques et géométriques
- Arithmétique : un = up + (n − p)r ; S = (nombre de termes)(premier + dernier)/2.
- Géométrique : un = upqn−p ; S = premier × (1 − qN)/(1 − q), N = nombre de termes.
Formules utiles : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 ; 1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Montrer par récurrence que 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n².
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Exemple 2
un+1 = 2un − 3, u₀ = 5. Montrer que vn = un − 3 est géométrique.
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-
u géométrique, u₀ = 3, q = 2 : u₄ = ?
Réponse
b) 48 — 3 × 2⁴ = 48. -
1 + 2 + … + 100 = ?
Réponse
a) 5 050 — 100 × 101/2. -
un+1 − un < 0 pour tout n :
Réponse
b) suite décroissante — Définition.
عموميات، المتتاليات الحسابية والهندسية، الاستدلال بالترجع.
∑ملخص الدرس
عموميات
يمكن تعريف متتالية بصيغة صريحة (un = f(n)) أو بعلاقة ترجعية (un+1 = f(un)). الرتابة: إشارة un+1 − un (أو مقارنة un+1/un مع 1 إذا كان un > 0). متتالية مكبورة، مصغورة، محدودة.
الاستدلال بالترجع
التحقق، ثم الوراثة P(n) ⇒ P(n + 1).
المتتاليات الحسابية والهندسية
- حسابية: un = up + (n − p)r ؛ S = (عدد الحدود)(الحد الأول + الحد الأخير)/2.
- هندسية: un = upqn−p ؛ S = الحد الأول × (1 − qN)/(1 − q)، N عدد الحدود.
صيغ مفيدة: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 ؛ 1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
بيّن بالترجع أن 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n².
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مثال 2
un+1 = 2un − 3، u₀ = 5. بيّن أن vn = un − 3 هندسية.
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-
u هندسية، u₀ = 3، q = 2: u₄ = ؟
الجواب
ب) 48 — 3 × 2⁴ = 48. -
1 + 2 + … + 100 = ؟
الجواب
أ) 5 050 — 100 × 101/2. -
un+1 − un < 0 لكل n:
الجواب
ب) متتالية تناقصية — التعريف.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.