9. Structures algébriques
Lois de composition interne, groupes, anneaux et corps.
∑Résumé du cours
Loi de composition interne
* sur E : ∀ x, y ∈ E, x * y ∈ E. Propriétés : associativité, commutativité, élément neutre e, symétrique x’ (x * x’ = x’ * x = e), distributivité d’une loi par rapport à une autre.
Groupe
(G, *) est un groupe si * est associative, admet un neutre et tout élément a un symétrique ; abélien si commutative. Sous-groupe H : non vide, stable, x * y’ ∈ H.
Morphisme f(x * y) = f(x) ⊤ f(y) : l’image d’un groupe par un morphisme est un groupe ; isomorphisme si bijectif.
Exemples : (ℤ, +), (ℝ*, ×), (ℂ*, ×), (U, ×) cercle unité, (ℤ/nℤ, +).
Anneau et corps
(A, +, ×) : (A, +) groupe abélien, × associative et distributive. Unitaire si × a un neutre. Corps : anneau commutatif unitaire où tout élément non nul est inversible : (ℚ, +, ×), (ℝ, +, ×), (ℂ, +, ×), (ℤ/pℤ, +, ×) pour p premier.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Sur ℝ, x * y = x + y − 2. (ℝ, *) est-il un groupe ?
Voir la correction
Exemple 2
Montrer que (ℤ/6ℤ, +, ×) n’est pas un corps.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
Neutre de (ℝ*, ×) :
Réponse
b) 1 — x × 1 = x. -
(ℤ, ×) est un groupe ?
Réponse
b) Non — 2 n’a pas d’inverse dans ℤ. -
ℤ/pℤ est un corps si p est…
Réponse
b) premier — Pas de diviseurs de zéro.
قوانين التركيب الداخلي، الزمر، الحلقات والأجسام.
∑ملخص الدرس
قانون التركيب الداخلي
* في E: ∀ x, y ∈ E، x * y ∈ E. الخاصيات: التجميعية، التبادلية، العنصر المحايد e، المماثل x’ (x * x’ = x’ * x = e)، توزيعية قانون بالنسبة لآخر.
الزمرة
(G, *) زمرة إذا كان * تجميعيًا، ويقبل عنصرًا محايدًا، ولكل عنصر مماثل؛ وتكون تبادلية إذا كان * تبادليًا. الزمرة الجزئية H: غير فارغة، مستقرة، x * y’ ∈ H.
التشاكل f(x * y) = f(x) ⊤ f(y): صورة زمرة بتشاكل زمرة؛ وهو تشاكل تقابلي إذا كان تقابليًا.
أمثلة: (ℤ, +)، (ℝ*, ×)، (ℂ*, ×)، (U, ×) دائرة الوحدة، (ℤ/nℤ, +).
الحلقة والجسم
(A, +, ×): (A, +) زمرة تبادلية، × تجميعي وتوزيعي. واحدية إذا كان لـ × عنصر محايد. الجسم: حلقة تبادلية واحدية كل عنصر غير منعدم فيها يقبل مقلوبًا: (ℚ, +, ×)، (ℝ, +, ×)، (ℂ, +, ×)، (ℤ/pℤ, +, ×) لـ p أولي.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
في ℝ، x * y = x + y − 2. هل (ℝ, *) زمرة؟
عرض الحل
مثال 2
بيّن أن (ℤ/6ℤ, +, ×) ليس جسمًا.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
محايد (ℝ*, ×):
الجواب
ب) 1 — x × 1 = x. -
هل (ℤ, ×) زمرة؟
الجواب
ب) لا — 2 لا يقبل مقلوبًا في ℤ. -
ℤ/pℤ جسم إذا كان p…
الجواب
ب) أوليًا — لا قواسم للصفر.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.