12. Produit scalaire dans l’espace

2BAC Sciences expérimentales et technologiques · Mathématiques · Chapitre 12الجداء السلمي في الفضاء

≈ 7 minSemestre 22 exemples4 questions

Repère orthonormé de l’espace, plans, distance d’un point à un plan et sphères.

∫Résumé du cours

Produit scalaire

Dans un repère orthonormé, si u⃗(x ; y ; z) et v⃗(x’ ; y’ ; z’) : u⃗·v⃗ = xx’ + yy’ + zz’ et ‖u⃗‖ = √(x² + y² + z²). u⃗ ⊥ v⃗ ⇔ u⃗·v⃗ = 0.

AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²).

Équation cartésienne d’un plan

Le plan passant par A et de vecteur normal n⃗(a ; b ; c) a une équation ax + by + cz + d = 0. Deux plans sont parallèles si leurs normales sont colinéaires, perpendiculaires si elles sont orthogonales.

Distance d’un point à un plan

d(M, P) = |a x_M + b y_M + c z_M + d| / √(a² + b² + c²).

Sphère

La sphère de centre Ω(a ; b ; c) et de rayon R : (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². La sphère de diamètre [AB] est l’ensemble des M tels que MA⃗·MB⃗ = 0.

Une équation x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 est une sphère si a² + b² + c² − d > 0 (de rayon √ de cette quantité).

Position sphère–plan

Avec d = d(Ω, P) : d > R, pas d’intersection ; d = R, plan tangent ; d < R, intersection = cercle de rayon r = √(R² − d²), de centre le projeté orthogonal de Ω sur P.

✎Exemples corrigés

Exemple 1

Équation du plan P passant par A(1 ; 0 ; 2) de vecteur normal n⃗(2 ; −1 ; 1).

Voir la correction

P : 2x − y + z + d = 0. A ∈ P : 2 − 0 + 2 + d = 0, d = −4.
P : 2x − y + z − 4 = 0.

Exemple 2

Sphère S de centre Ω(0 ; 1 ; 1), rayon 3, et plan P : x + 2y + 2z − 1 = 0. Position relative ?

Voir la correction

d(Ω, P) = |0 + 2 + 2 − 1|/√(1 + 4 + 4) = 3/3 = 1 < 3.
P coupe S suivant un cercle de rayon √(9 − 1) = 2√2.

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

u⃗(1 ; 2 ; −1) · v⃗(3 ; 0 ; 3) = ?

Réponse

a) 0 — 3 + 0 − 3 = 0 : vecteurs orthogonaux.
Un vecteur normal au plan 3x − y + 2z + 5 = 0 est…

Réponse

a) (3 ; −1 ; 2) — Les coefficients de x, y, z.
Si d(Ω, P) = R, le plan est…

Réponse

b) tangent à la sphère — Un seul point commun.
Rayon de x² + y² + z² = 16 ?

Réponse

b) 4 — R² = 16.

المعلم المتعامد الممنظم في الفضاء، المستويات، مسافة نقطة عن مستوى والفلكات.

∫ملخص الدرس

الجداء السلمي

في معلم متعامد ممنظم، إذا كان u⃗(x ; y ; z) و v⃗(x’ ; y’ ; z’): u⃗·v⃗ = xx’ + yy’ + zz’ و ‖u⃗‖ = √(x² + y² + z²). u⃗ ⊥ v⃗ ⇔ u⃗·v⃗ = 0.

AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²).

المعادلة الديكارتية لمستوى

المستوى المار من A والذي متجهته المنظمية n⃗(a ; b ; c) له معادلة ax + by + cz + d = 0. يكون مستويان متوازيين إذا كانت منظميتاهما مستقيميتين، ومتعامدين إذا كانتا متعامدتين.

مسافة نقطة عن مستوى

d(M, P) = |a x_M + b y_M + c z_M + d| / √(a² + b² + c²).

الفلكة

الفلكة التي مركزها Ω(a ; b ; c) وشعاعها R: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². الفلكة التي أحد أقطارها [AB] هي مجموعة النقط M بحيث MA⃗·MB⃗ = 0.

المعادلة x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 فلكة إذا كان a² + b² + c² − d > 0 (شعاعها جذر هذا العدد).

الوضع النسبي لفلكة ومستوى

مع d = d(Ω, P): d > R، لا تقاطع؛ d = R، المستوى مماس؛ d < R، التقاطع دائرة شعاعها r = √(R² − d²) ومركزها المسقط العمودي لـ Ω على P.

✎أمثلة محلولة

مثال 1

معادلة المستوى P المار من A(1 ; 0 ; 2) والذي متجهته المنظمية n⃗(2 ; −1 ; 1).

عرض الحل

P: 2x − y + z + d = 0. A ∈ P: 2 − 0 + 2 + d = 0، d = −4.
P: 2x − y + z − 4 = 0.

مثال 2

فلكة S مركزها Ω(0 ; 1 ; 1) وشعاعها 3، ومستوى P: x + 2y + 2z − 1 = 0. ما الوضع النسبي؟