11. Calcul intégral
Intégrale d’une fonction continue, propriétés, intégration par parties, aires et volumes.
∫Résumé du cours
Définition
Si f est continue sur I et F une primitive, pour a, b ∈ I : ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), noté [F(x)]ab.
Propriétés
- Chasles : ∫ab f + ∫bc f = ∫ac f ; ∫aa f = 0 ; ∫ba f = −∫ab f.
- Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g.
- Positivité : si a ≤ b et f ≥ 0, ∫ab f ≥ 0. Si f ≤ g, ∫f ≤ ∫g.
- Valeur moyenne : μ = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx.
- x ↦ ∫ax f(t) dt est la primitive de f qui s’annule en a.
Intégration par parties
∫ab u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]ab − ∫ab u'(x)v(x) dx. On dérive le facteur qui se simplifie (x, ln x…) et on intègre l’autre.
Aires et volumes
Aire entre Cf, l’axe (Ox) et les droites x = a, x = b : A = ∫ab |f(x)| dx (en unités d’aire). Entre deux courbes : ∫|f − g|.
Volume du solide de révolution engendré par Cf autour de (Ox) : V = π ∫ab f(x)² dx.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Calculer I = ∫01 x eˣ dx.
Voir la correction
I = [x eˣ]01 − ∫01 eˣ dx = e − (e − 1) = 1.
Exemple 2
Calculer l’aire entre la courbe de f(x) = 1/x, l’axe (Ox), x = 1 et x = e.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
∫02 x dx = ?
Réponse
b) 2 — [x²/2] de 0 à 2 = 2. -
∫ab f + ∫bc f = ∫ac f s’appelle…
Réponse
b) la relation de Chasles — Comme pour les vecteurs. -
Pour ∫ x ln x dx par parties, on dérive…
Réponse
b) ln x — ln x se dérive en 1/x, ce qui simplifie. -
Volume de révolution autour de (Ox) :
Réponse
a) π∫f² — Somme de disques d’aire πf(x)².
تكامل دالة متصلة، الخاصيات، المكاملة بالأجزاء، المساحات والحجوم.
∫ملخص الدرس
تعريف
إذا كانت f متصلة على I و F دالة أصلية لها، فمن أجل a و b من I: ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)، ونرمز له بـ [F(x)]ab.
الخاصيات
- علاقة شال: ∫ab f + ∫bc f = ∫ac f ؛ ∫aa f = 0 ؛ ∫ba f = −∫ab f.
- الخطية: ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g.
- الموجبية: إذا كان a ≤ b و f ≥ 0 فإن ∫ab f ≥ 0. وإذا كان f ≤ g فإن ∫f ≤ ∫g.
- القيمة المتوسطة: μ = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx.
- x ↦ ∫ax f(t) dt هي الدالة الأصلية لـ f التي تنعدم في a.
المكاملة بالأجزاء
∫ab u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]ab − ∫ab u'(x)v(x) dx. نشتق العامل الذي يتبسط (x، ln x…) ونكامل الآخر.
المساحات والحجوم
المساحة بين Cf ومحور الأفاصيل والمستقيمين x = a و x = b: A = ∫ab |f(x)| dx (بوحدة المساحة). وبين منحنيين: ∫|f − g|.
حجم المجسم الناتج عن دوران Cf حول (Ox): V = π ∫ab f(x)² dx.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
احسب I = ∫01 x eˣ dx.
عرض الحل
I = [x eˣ]01 − ∫01 eˣ dx = e − (e − 1) = 1.
مثال 2
احسب المساحة بين منحنى f(x) = 1/x ومحور الأفاصيل والمستقيمين x = 1 و x = e.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
∫02 x dx = ؟
الجواب
ب) 2 — [x²/2] من 0 إلى 2 = 2. -
∫ab f + ∫bc f = ∫ac f تسمى…
الجواب
ب) علاقة شال — كما بالنسبة للمتجهات. -
في ∫ x ln x dx بالأجزاء، نشتق…
الجواب
ب) ln x — مشتقة ln x هي 1/x، مما يبسط. -
حجم الدوران حول (Ox):
الجواب
أ) π∫f² — مجموع أقراص مساحتها πf(x)².
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.