5. Primitives et calcul intégral
Primitives usuelles, intégrale et calcul d’aires.
∑Résumé du cours
Primitives : xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1) ; 1/x → ln|x| ; eˣ → eˣ ; u’uⁿ → uⁿ⁺¹/(n + 1) ; u’/u → ln|u| ; u’eᵘ → eᵘ.
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a). Linéarité, Chasles, positivité.
Aire sous la courbe (f ≥ 0) : A = ∫ab f(x) dx u.a. ; valeur moyenne (1/(b − a))∫f.
Application : retrouver le coût total à partir du coût marginal.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Calculer ∫02 (3x² + 1) dx.
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Exemple 2
C'(q) = 2q + 5 et C(0) = 50. Trouver C(q).
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Primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ :
Réponse
a) ln x — Définition de ln. -
∫1e (1/x) dx = ?
Réponse
a) 1 — ln e − ln 1. -
Deux primitives diffèrent d’…
Réponse
a) une constante — F + c.
الدوال الأصلية الاعتيادية، التكامل وحساب المساحات.
∑ملخص الدرس
الدوال الأصلية: xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1) ؛ 1/x → ln|x| ؛ eˣ → eˣ ؛ u’uⁿ → uⁿ⁺¹/(n + 1) ؛ u’/u → ln|u| ؛ u’eᵘ → eᵘ.
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a). الخطانية، علاقة شال، الموجبية.
المساحة تحت المنحنى (f ≥ 0): A = ∫ab f(x) dx وحدة مساحة ؛ القيمة المتوسطة (1/(b − a))∫f.
تطبيق: إيجاد الكلفة الإجمالية انطلاقًا من الكلفة الحدية.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
احسب ∫02 (3x² + 1) dx.
عرض الحل
مثال 2
C'(q) = 2q + 5 و C(0) = 50. حدد C(q).
عرض الحل
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الدالة الأصلية لـ 1/x على ]0 ; +∞[:
الجواب
أ) ln x — تعريف ln. -
∫1e (1/x) dx = ؟
الجواب
أ) 1 — ln e − ln 1. -
دالتان أصليتان تختلفان بـ…
الجواب
أ) ثابتة — F + c.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.