1. Notions de logique
Propositions, connecteurs, quantificateurs et les grands types de raisonnement.
∑Résumé du cours
Propositions et connecteurs
Une proposition est un énoncé vrai (V) ou faux (F). Connecteurs : négation ¬P, conjonction P ∧ Q (« et »), disjonction P ∨ Q (« ou »), implication P ⇒ Q (fausse seulement si P vraie et Q fausse), équivalence P ⇔ Q.
Lois de Morgan : ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q ; ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q. Contraposée : (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P).
Quantificateurs
∀ « pour tout », ∃ « il existe », ∃! « il existe un unique ». Négation : ¬(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, ¬P(x) ; ¬(∃x, P(x)) ⇔ ∀x, ¬P(x). L’ordre de ∀ et ∃ compte.
Raisonnements
- Par contraposée : pour P ⇒ Q, on montre ¬Q ⇒ ¬P.
- Par l’absurde : on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction.
- Par disjonction des cas.
- Par contre-exemple : pour réfuter un « ∀ ».
- Par équivalences successives.
- Par récurrence.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Écrire la négation de : ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x + y = 0.
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Exemple 2
Montrer par contraposée : si n² est pair, alors n est pair.
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?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
P ⇒ Q est fausse quand…
Réponse
a) P vraie et Q fausse — C’est le seul cas. -
¬(P ∧ Q) ⇔ …
Réponse
b) ¬P ∨ ¬Q — Loi de Morgan. -
Pour réfuter « ∀x, P(x) », il suffit…
Réponse
a) d’un contre-exemple — Un seul x qui ne vérifie pas P suffit.
العبارات، الروابط، المكممات وأهم أنواع الاستدلال.
∑ملخص الدرس
العبارات والروابط
العبارة نص إما صحيح (V) أو خاطئ (F). الروابط: النفي ¬P، العطف P ∧ Q («و»)، الفصل P ∨ Q («أو»)، الاستلزام P ⇒ Q (خاطئ فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة)، التكافؤ P ⇔ Q.
قانونا موركان: ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q ؛ ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q. المضادة للعكس: (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P).
المكممات
∀ «لكل»، ∃ «يوجد»، ∃! «يوجد وحيد». النفي: ¬(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, ¬P(x) ؛ ¬(∃x, P(x)) ⇔ ∀x, ¬P(x). ترتيب ∀ و ∃ مهم.
أنواع الاستدلال
- بالمضادة للعكس: لإثبات P ⇒ Q، نبيّن ¬Q ⇒ ¬P.
- بالخلف: نفترض العكس ونصل إلى تناقض.
- بفصل الحالات.
- بالمثال المضاد: لدحض «∀».
- بالتكافؤات المتتالية.
- بالترجع.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
اكتب نفي: ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x + y = 0.
عرض الحل
مثال 2
بيّن بالمضادة للعكس: إذا كان n² زوجيًا، فإن n زوجي.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
يكون P ⇒ Q خاطئًا عندما…
الجواب
أ) P صحيحة و Q خاطئة — إنها الحالة الوحيدة. -
¬(P ∧ Q) ⇔ …
الجواب
ب) ¬P ∨ ¬Q — قانون موركان. -
لدحض «∀x, P(x)» يكفي…
الجواب
أ) مثال مضاد — يكفي x واحد لا يحقق P.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.