4. Dénombrement
Compter sans tout écrire : cardinal, arrangements, permutations, combinaisons et binôme de Newton.
∑Résumé du cours
Principes
card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B). Principe multiplicatif : choix successifs → produit des nombres de choix.
Formules
- p-listes (avec répétition, ordre) : nᵖ.
- Arrangements : Anp = n(n − 1)…(n − p + 1) = n!/(n − p)!.
- Permutations : n!.
- Combinaisons : Cnp = n!/(p!(n − p)!).
Cnp = Cnn−p ; Pascal : Cnp + Cnp+1 = Cn+1p+1.
Binôme de Newton
(a + b)ⁿ = Σk=0n Cnk aᵏ bⁿ⁻ᵏ ; en particulier Σ Cnk = 2ⁿ.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Combien de codes de 4 chiffres (0 à 9) ? Combien avec 4 chiffres tous différents ?
Voir la correction
Exemple 2
Développer (x + 1)⁴.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
Nombre de façons de choisir 3 délégués parmi 10 élèves :
Réponse
a) C103 = 120 — L’ordre ne compte pas. -
0! = ?
Réponse
b) 1 — Par convention. -
Σk=05 C5k = ?
Réponse
b) 32 — 2⁵ (binôme avec a = b = 1).
العد دون كتابة كل شيء: الرئيسي، الترتيبات، التبديلات، التأليفات وحدانية نيوتن.
∑ملخص الدرس
مبادئ
card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B). المبدأ الأساسي للتعداد: اختيارات متتالية ← جداء أعداد الاختيارات.
الصيغ
- القوائم (بتكرار، مع الترتيب): nᵖ.
- الترتيبات: Anp = n(n − 1)…(n − p + 1) = n!/(n − p)!.
- التبديلات: n!.
- التأليفات: Cnp = n!/(p!(n − p)!).
Cnp = Cnn−p ؛ باسكال: Cnp + Cnp+1 = Cn+1p+1.
حدانية نيوتن
(a + b)ⁿ = Σk=0n Cnk aᵏ bⁿ⁻ᵏ ؛ وبالخصوص Σ Cnk = 2ⁿ.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
كم رمزًا من 4 أرقام (0 إلى 9)؟ وكم رمزًا بـ 4 أرقام مختلفة مثنى مثنى؟
عرض الحل
مثال 2
انشر (x + 1)⁴.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
عدد طرق اختيار 3 مندوبين من بين 10 تلاميذ:
الجواب
أ) C103 = 120 — الترتيب غير مهم. -
0! = ؟
الجواب
ب) 1 — اصطلاحًا. -
Σk=05 C5k = ؟
الجواب
ب) 32 — 2⁵ (الحدانية مع a = b = 1).
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.