6. Équilibre d’un corps soumis à trois forces

TC Sciences et Technologies · Physique-Chimie · Chapitre 6توازن جسم خاضع لثلاث قوى

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Trois forces peuvent se compenser : il faut qu’elles se coupent en un même point et que leur somme soit nulle.

ΦRésumé du cours

Conditions d’équilibre

Un solide soumis à trois forces non parallèles F⃗₁, F⃗₂, F⃗₃ est en équilibre si :

F⃗₁ + F⃗₂ + F⃗₃ = 0⃗ ;
les trois forces sont coplanaires et leurs droites d’action sont concourantes (se coupent en un même point).

Méthode graphique

On trace les vecteurs bout à bout : ils forment un triangle fermé (le dynamique des forces). On mesure les côtés à l’échelle.

Méthode analytique

On projette la relation vectorielle sur deux axes perpendiculaires Ox et Oy :

F₁ₓ + F₂ₓ + F₃ₓ = 0 et F₁ᵧ + F₂ᵧ + F₃ᵧ = 0.

Exemple de projection : une force F faisant un angle α avec Ox a pour composantes F cos α et F sin α.

Frottements

Sur un plan incliné avec frottement, la réaction R⃗ n’est plus perpendiculaire au plan : elle fait un angle φ avec la normale (angle de frottement).

✎Exemples corrigés

Exemple 1

Un chariot de masse 2 kg est maintenu immobile sur un plan incliné de 30°, sans frottement, par un fil parallèle au plan. Calculer T et R (g = 9,8 N/kg).

Voir la correction

Forces : P⃗ (19,6 N), T⃗ (parallèle au plan), R⃗ (perpendiculaire au plan).
Projection sur l’axe du plan : T − P sin 30° = 0 ⇒ T = 9,8 N.
Projection sur la normale : R − P cos 30° = 0 ⇒ R ≈ 17,0 N.

Exemple 2

Un tableau est suspendu par deux fils symétriques faisant chacun 60° avec l’horizontale. Son poids vaut 20 N. Calculer la tension de chaque fil.

Voir la correction

Par symétrie, T₁ = T₂ = T. Projection sur la verticale : 2 T sin 60° − P = 0.
T = 20 / (2 × 0,866) ≈ 11,5 N.

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À l’équilibre sous trois forces, leurs droites d’action sont…

Réponse

b) concourantes — Elles se coupent en un même point.
Le dynamique de trois forces en équilibre est…

Réponse

a) un triangle fermé — La somme des vecteurs est nulle.
La composante sur Ox d’une force F faisant un angle α avec Ox est…

Réponse

b) F cos α — Projection : F cos α.

يمكن لثلاث قوى أن تتوازن: يجب أن تتلاقى في نقطة واحدة وأن يكون مجموعها منعدمًا.

Φملخص الدرس

شروط التوازن

يكون جسم صلب خاضع لثلاث قوى غير متوازية F⃗₁ و F⃗₂ و F⃗₃ في توازن إذا كان:

F⃗₁ + F⃗₂ + F⃗₃ = 0⃗؛
القوى الثلاث مستوائية وخطوط تأثيرها متلاقية (تتقاطع في نقطة واحدة).

الطريقة المبيانية

نرسم المتجهات متتابعة: تكوّن مثلثًا مغلقًا (الخط المضلعي للقوى). نقيس الأضلاع وفق السلم.

الطريقة التحليلية

نسقط العلاقة المتجهية على محورين متعامدين Ox و Oy:

F₁ₓ + F₂ₓ + F₃ₓ = 0 و F₁ᵧ + F₂ᵧ + F₃ᵧ = 0.

مثال إسقاط: قوة F تكوّن زاوية α مع Ox مركبتاها F cos α و F sin α.

الاحتكاكات

على مستوى مائل مع احتكاك، لا يبقى R⃗ عموديًا على المستوى: يكوّن زاوية φ مع المنظمي (زاوية الاحتكاك).

✎أمثلة محلولة

مثال 1

عربة كتلتها 2 kg محفوظة ساكنة على مستوى مائل بـ 30° دون احتكاك، بواسطة خيط مواز للمستوى. احسب T و R (g = 9,8 N/kg).

عرض الحل

القوى: P⃗ (19,6 N)، T⃗ (موازية للمستوى)، R⃗ (عمودية على المستوى).
الإسقاط على محور المستوى: T − P sin 30° = 0 ⇒ T = 9,8 N.
الإسقاط على المنظمي: R − P cos 30° = 0 ⇒ R ≈ 17,0 N.

مثال 2

لوحة معلقة بخيطين متماثلين يكوّن كل منهما 60° مع الأفقي. وزنها 20 N. احسب توتر كل خيط.