14. Dénombrement et probabilités

∫Résumé du cours

Dénombrement

• Principe multiplicatif : p choix successifs à n₁, n₂… possibilités → n₁ × n₂ × … résultats.
• Arrangements (ordre compte, sans répétition) : A_n^p = n!/(n − p)!. Avec répétition : nᵖ.
• Permutations : n!.
• Combinaisons (ordre ne compte pas) : C_n^p = n!/(p!(n − p)!).
• Tirages : simultanés → combinaisons ; successifs sans remise → arrangements ; avec remise → nᵖ.

Probabilités

Équiprobabilité : p(A) = card A / card Ω. p(Ā) = 1 − p(A) ; p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).

Probabilité conditionnelle et indépendance

p_B(A) = p(A ∩ B)/p(B). Probabilités totales : p(A) = p(B)p_B(A) + p(B̄)p_B̄(A). A et B sont indépendants si p(A ∩ B) = p(A)p(B).

Variable aléatoire

Loi de X : les valeurs xᵢ et les probabilités pᵢ (somme = 1). E(X) = Σ xᵢpᵢ ; V(X) = Σ xᵢ²pᵢ − E(X)² ; σ(X) = √V(X).

Loi binomiale

On répète n fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité p). X = nombre de succès : p(X = k) = C_n^k pᵏ (1 − p)^n−k ; E(X) = np ; V(X) = np(1 − p).

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. C₅² = ?

   a) 10b) 20c) 25
   Réponse

   a) 10 — 5!/(2!3!) = 10.

2. Tirage successif sans remise de 3 boules parmi 8 : nombre de résultats ?

   a) C₈³b) A₈³c) 8³
   Réponse

   b) A₈³ — L’ordre compte, sans répétition.

3. Si X suit B(10 ; 0,3), E(X) = ?

   a) 3b) 0,3c) 2,1
   Réponse

   a) 3 — np = 10 × 0,3.

4. A et B indépendants signifie…

   a) p(A ∩ B) = 0b) p(A ∩ B) = p(A)p(B)c) p(A) = p(B)
   Réponse

   b) p(A ∩ B) = p(A)p(B) — Définition de l’indépendance.

∫ملخص الدرس

التعداد

• المبدأ الأساسي للتعداد: p اختيارات متتالية بـ n₁ و n₂… إمكانية ← n₁ × n₂ × … نتيجة.
• الترتيبات (الترتيب مهم، دون تكرار): A_n^p = n!/(n − p)!. مع التكرار: nᵖ.
• التبديلات: n!.
• التأليفات (الترتيب غير مهم): C_n^p = n!/(p!(n − p)!).
• السحب: تآنيًا ← تأليفات؛ بالتتابع دون إحلال ← ترتيبات؛ بإحلال ← nᵖ.

الاحتمالات

في حالة تساوي الاحتمال: p(A) = card A / card Ω. p(Ā) = 1 − p(A) ؛ p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).

الاحتمال الشرطي والاستقلالية

p_B(A) = p(A ∩ B)/p(B). صيغة الاحتمالات الكلية: p(A) = p(B)p_B(A) + p(B̄)p_B̄(A). يكون A و B مستقلين إذا كان p(A ∩ B) = p(A)p(B).

المتغير العشوائي

قانون X: القيم xᵢ واحتمالاتها pᵢ (مجموعها = 1). E(X) = Σ xᵢpᵢ ؛ V(X) = Σ xᵢ²pᵢ − E(X)² ؛ σ(X) = √V(X).

القانون الحداني

نكرر n مرة، بكيفية مستقلة، تجربة لها مخرجان (النجاح احتماله p). X = عدد النجاحات: p(X = k) = C_n^k pᵏ (1 − p)^n−k ؛ E(X) = np ؛ V(X) = np(1 − p).

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. C₅² = ؟

   أ) 10ب) 20ج) 25
   الجواب

   أ) 10 — 5!/(2!3!) = 10.

2. سحب بالتتابع دون إحلال لـ 3 كرات من 8: عدد النتائج؟

   أ) C₈³ب) A₈³ج) 8³
   الجواب

   ب) A₈³ — الترتيب مهم ودون تكرار.

3. إذا كان X يتبع B(10 ; 0,3) فإن E(X) = ؟

   أ) 3ب) 0,3ج) 2,1
   الجواب

   أ) 3 — np = 10 × 0,3.

4. A و B مستقلان يعني…

   أ) p(A ∩ B) = 0ب) p(A ∩ B) = p(A)p(B)ج) p(A) = p(B)
   الجواب

   ب) p(A ∩ B) = p(A)p(B) — تعريف الاستقلالية.