2. Dérivation et étude de fonctions
Dérivées, sens de variation, extremums, tangentes et application à l’économie (coût marginal).
∑Résumé du cours
Dérivées usuelles
(xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ ; (1/x)’ = −1/x² ; (√x)’ = 1/(2√x) ; (uv)’ = u’v + uv’ ; (u/v)’ = (u’v − uv’)/v².
Variations
f’ > 0 : f croissante ; f’ < 0 : décroissante ; f’ s’annule en changeant de signe : extremum. Tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a).
Application économique
Coût total C(q) ; coût marginal Cm(q) = C'(q) ; coût moyen CM(q) = C(q)/q ; recette R(q) = p × q ; bénéfice B(q) = R(q) − C(q), maximal quand B'(q) = 0.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
C(q) = q² + 10q + 100. Coût marginal pour q = 20 ?
Voir la correction
Exemple 2
B(q) = −2q² + 80q − 300. Quantité qui maximise le bénéfice ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
((2x + 1)²)’ = ?
Réponse
b) 4(2x + 1) — 2 × 2 × (2x + 1). -
Coût marginal = ?
Réponse
b) C'(q) — Dérivée du coût total. -
Si f’ change de signe en a, f admet…
Réponse
a) un extremum — Maximum ou minimum.
المشتقات، منحى التغير، القيم القصوى، المماسات والتطبيق في الاقتصاد (الكلفة الحدية).
∑ملخص الدرس
المشتقات الاعتيادية
(xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ ؛ (1/x)’ = −1/x² ؛ (√x)’ = 1/(2√x) ؛ (uv)’ = u’v + uv’ ؛ (u/v)’ = (u’v − uv’)/v².
التغيرات
f’ > 0: f تزايدية ؛ f’ < 0: تناقصية ؛ f’ تنعدم مع تغيير الإشارة: قيمة قصوى. المماس: y = f'(a)(x − a) + f(a).
تطبيق اقتصادي
الكلفة الإجمالية C(q) ؛ الكلفة الحدية Cm(q) = C'(q) ؛ الكلفة المتوسطة CM(q) = C(q)/q ؛ المداخيل R(q) = p × q ؛ الربح B(q) = R(q) − C(q)، يكون قصويًا عندما B'(q) = 0.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
C(q) = q² + 10q + 100. الكلفة الحدية من أجل q = 20؟
عرض الحل
مثال 2
B(q) = −2q² + 80q − 300. الكمية التي تجعل الربح قصويًا؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
((2x + 1)²)’ = ؟
الجواب
ب) 4(2x + 1) — 2 × 2 × (2x + 1). -
الكلفة الحدية = ؟
الجواب
ب) C'(q) — مشتقة الكلفة الإجمالية. -
إذا غيرت f’ إشارتها في a، فإن f تقبل…
الجواب
أ) قيمة قصوى — قيمة قصوى دنيا أو عليا.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.