1. Limites et continuité
Calculer des limites, lever les indéterminations et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
∑Résumé du cours
Limites
- Polynôme en ±∞ : limite du terme de plus haut degré. Fonction rationnelle : quotient des termes de plus haut degré.
- Formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0 : factoriser, simplifier, utiliser le conjugué.
- Asymptotes : verticale x = a si lima f = ±∞ ; horizontale y = b si lim±∞ f = b ; oblique y = ax + b si f(x) − (ax + b) → 0.
Continuité
f continue en a si lima f = f(a). TVI : si f continue strictement monotone sur [a ; b] et f(a)f(b) < 0, f(x) = 0 a une unique solution dans ]a ; b[.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
limx→+∞ (3x² − x + 1)/(x² + 2).
Voir la correction
Exemple 2
limx→2 (x² − 4)/(x − 2).
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
limx→−∞ (2x³ + x) = ?
Réponse
b) −∞ — Terme dominant 2x³. -
0/0 est…
Réponse
b) une forme indéterminée — Il faut transformer. -
Asymptote horizontale y = 2 si…
Réponse
a) lim±∞ f = 2 — Définition.
حساب النهايات، إزالة الأشكال غير المحددة واستعمال مبرهنة القيم الوسيطية.
∑ملخص الدرس
النهايات
- حدودية في ±∞: نهاية الحد الأعلى درجة. دالة جذرية: خارج الحدين الأعلى درجة.
- الأشكال غير المحددة: ∞ − ∞، 0 × ∞، ∞/∞، 0/0: التعميل، الاختزال، استعمال المرافق.
- المقاربات: عمودي x = a إذا كان lima f = ±∞ ؛ أفقي y = b إذا كان lim±∞ f = b ؛ مائل y = ax + b إذا كان f(x) − (ax + b) → 0.
الاتصال
f متصلة في a إذا كان lima f = f(a). مبرهنة القيم الوسيطية: إذا كانت f متصلة ورتيبة قطعًا على [a ; b] و f(a)f(b) < 0، فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلًا وحيدًا في ]a ; b[.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
limx→+∞ (3x² − x + 1)/(x² + 2).
عرض الحل
مثال 2
limx→2 (x² − 4)/(x − 2).
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
limx→−∞ (2x³ + x) = ؟
الجواب
ب) −∞ — الحد الأعلى درجة 2x³. -
0/0…
الجواب
ب) شكل غير محدد — يجب التحويل. -
مقارب أفقي y = 2 إذا كان…
الجواب
أ) lim±∞ f = 2 — التعريف.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.