5. الاشتقاق ودراسة الدوال
حساب المشتقة ودراسة تغيرات دالة ورسم منحناها.
∑ملخص الدرس
المشتقات
(a)’ = 0 ؛ (x)’ = 1 ؛ (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ ؛ (1/x)’ = −1/x² ؛ (u + v)’ = u’ + v’ ؛ (ku)’ = ku’.
التغيرات
إذا كانت f’ > 0 فالدالة تزايدية، وإذا كانت f’ < 0 فهي تناقصية. القيمة التي تنعدم فيها f’ مع تغير إشارتها تعطي قيمة قصوى أو دنيا.
معادلة المماس
y = f'(a)(x − a) + f(a).
خطوات الدراسة
مجموعة التعريف ← النهايات ← المشتقة وإشارتها ← جدول التغيرات ← الرسم.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
ادرس تغيرات f(x) = x² − 4x + 1.
عرض الحل
مثال 2
معادلة المماس لـ f(x) = x² في النقطة 1.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
(x³)’ = ؟
الجواب
أ) 3x² — nxⁿ⁻¹. -
إذا كانت f’ < 0 فإن f…
الجواب
ب) تناقصية — إشارة المشتقة. -
مشتقة عدد ثابت:
الجواب
أ) 0 — لا يتغير.
Calculer la dérivée, étudier les variations d’une fonction et tracer sa courbe.
∑Résumé du cours
Les dérivées
(a)’ = 0 ; (x)’ = 1 ; (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ ; (1/x)’ = −1/x² ; (u + v)’ = u’ + v’ ; (ku)’ = ku’.
Les variations
Si f’ > 0, la fonction est croissante ; si f’ < 0, elle est décroissante. La valeur où f’ s’annule en changeant de signe donne un maximum ou un minimum.
Équation de la tangente
y = f'(a)(x − a) + f(a).
Étapes de l’étude
Domaine de définition → limites → dérivée et son signe → tableau de variations → tracé.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Étudier les variations de f(x) = x² − 4x + 1.
Voir la correction
Exemple 2
Équation de la tangente à f(x) = x² au point 1.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
(x³)’ = ?
Réponse
a) 3x² — nxⁿ⁻¹. -
Si f’ < 0, f est…
Réponse
b) décroissante — Signe de la dérivée. -
La dérivée d’une constante :
Réponse
a) 0 — Elle ne varie pas.
ملخص من إعداد نقراو وفق المقرر الرسمي المغربي.