9. Probabilités
Événements, probabilités conditionnelles, indépendance et variable aléatoire.
∑Résumé du cours
Équiprobabilité : p(A) = card A / card Ω. p(Ā) = 1 − p(A) ; p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).
pB(A) = p(A ∩ B)/p(B) ; probabilités totales ; indépendance p(A ∩ B) = p(A)p(B).
Variable aléatoire : loi, espérance E(X) = Σxᵢpᵢ, variance, écart-type. Loi binomiale : p(X = k) = Cnkpᵏ(1 − p)n−k, E = np.
Application : espérance de gain d’un jeu, prise de décision.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Un jeu : on gagne 10 DH avec probabilité 0,2, on perd 3 DH sinon. Espérance du gain ?
Voir la correction
Exemple 2
On lance un dé 3 fois. Probabilité d’obtenir exactement deux 6 ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
p(Ā) = ?
Réponse
a) 1 − p(A) — Événement contraire. -
E(X) pour B(20 ; 0,1) :
Réponse
a) 2 — np. -
Un jeu est équitable si E(gain) = …
Réponse
a) 0 — Ni gain ni perte en moyenne.
الأحداث، الاحتمالات الشرطية، الاستقلالية والمتغير العشوائي.
∑ملخص الدرس
تساوي الاحتمال: p(A) = card A / card Ω. p(Ā) = 1 − p(A) ؛ p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).
pB(A) = p(A ∩ B)/p(B) ؛ الاحتمالات الكلية ؛ الاستقلالية p(A ∩ B) = p(A)p(B).
المتغير العشوائي: قانون الاحتمال، الأمل الرياضي E(X) = Σxᵢpᵢ، المغايرة، الانحراف الطرازي. القانون الحداني: p(X = k) = Cnkpᵏ(1 − p)n−k، E = np.
تطبيق: أمل الربح في لعبة، اتخاذ القرار.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
لعبة: نربح 10 دراهم باحتمال 0,2، ونخسر 3 دراهم في الحالة الأخرى. أمل الربح؟
عرض الحل
مثال 2
نرمي نردًا 3 مرات. احتمال الحصول على 6 مرتين بالضبط؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
p(Ā) = ؟
الجواب
أ) 1 − p(A) — الحدث المضاد. -
E(X) بالنسبة لـ B(20 ; 0,1):
الجواب
أ) 2 — np. -
تكون اللعبة عادلة إذا كان E(الربح) = …
الجواب
أ) 0 — لا ربح ولا خسارة في المتوسط.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.